Homeomorfizmaya Dair-V

Question

$(X,\tau),(Y,\tau')$ topolojik uzaylar ve $f\in Y^X$ olmak üzere

$$f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma}$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\forall A\subseteq X)(g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x), \  (\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})\text{ homeomorfizma})$$ olduğunu gösteriniz.

İlk hali alttaki gibi olan soru, Doğan hocamın önerisine binaen üstteki gibi güncellenerek soru daha genel bir şekle dönüştürülmüştür.

$(X,\tau),(Y,\tau')$ topolojik uzaylar ve $f\in Y^X$ olmak üzere

$$f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma}$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\forall x\in X)(g:X\setminus\{x\}\to Y\setminus\{f(x)\}, \ g(x):=f(x), \  (\tau_{X\setminus\{x\}}\text{-}\tau'_{Y\setminus\{f(x)\}})\text{ homeomorfizma})$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu durum daha genel olarak herhangi bir alt küme için de geçerli olmaz mı?

---

Soruyu öneriniz doğrultusunda güncelledim hocam. Katkınız için teşekkür ederim.

---

"Elimizde homeomorfik uzaylar var diyelim. Bu uzaylardan birinden bir altküme çıkarsak, diğerinden de o altkümeye karşılık gelen altkümeyi çıkarsak, geriye kalan uzaylar indirgenmiş topolojileri ile homoemorfik olurlar". Soru bu dimi?

---

Evet soru bu. Soruyu Matematikçe(!) yazdım. Sizin yorumda yazdığınız da benim sorduğum sorunun Türkçesi.

---

Ben (eksik söylemişim) şunu demek istemiştim.

Soru ($A$ yerine $X\setminus A$ yazılarak) (alt uzay topolojileri ile)

"Her $A\subseteq X$ için $g=f_{\mid A}:A\to f(A)$ bir homeomorfizmadır" 

şeklinde biraz daha kısa yazılabilir. 

---

Doğan hocam sizin de yorumunuzda ifade ettiğiniz gibi soruyu çok daha sade bir şekilde sorabilirdim.  Ancak soruyu sorarken aklımda hep buradaki soruya bir ön hazırlık olması düşüncesi olduğundan $g:A\to f[A]$ yerine $g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$ yazmaktan kendimi alıkoyamamışım. 

Answer 1

$$g(x):=f(x)$$ kuralı ile verilen $$g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ homeomorfizma olduğunu göstermek için $g$ fonksiyonunun 

1. bijektif, 

2. $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ sürekli, 

3. $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ açık 

olduğunu göstermeliyiz.

1. $f$ fonksiyonu $(\tau\text{-}\tau')$ homeomorfizma olduğundan $f$ fonksiyonu bijektiftir. Dolayısıyla $g(x):=f(x)$ kuralı ile verilen $g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$ fonksiyonunun bijektif olduğunu görmek zor olmasa gerek.

2. $g$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ sürekli olduğunu gösterelim.

$V\in\tau'_{Y\setminus f[A]}$ olsun. $(g^{-1}[V]\in\tau_{X\setminus A}$ olduğunu göstermeliyiz$)$

$\left.\begin{array}{rrr} V\in\tau'_{Y\setminus f[A]}\Rightarrow (\exists T\in\tau')(V=T\cap (Y\setminus f[A])) \\ \\ f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma} \\ \\ g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x) \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (f^{-1}[T]\in\tau)(g^{-1}[V]=f^{-1}[V]=f^{-1}[T\cap (Y\setminus f[A])]=f^{-1}[T]\cap f^{-1}[(Y\setminus f[A])])=f^{-1}[T]\cap (X\setminus f^{-1}[f[A]])=f^{-1}[T]\cap (X\setminus A))$

$\Rightarrow g^{-1}[V]\in\tau_{X\setminus A}.$

3. $g$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ açık olduğunu gösterelim.

$U\in\tau_{X\setminus A}$ olsun. $(g[U]\in\tau_{Y\setminus f[A]}$ olduğunu göstermeliyiz$)$

$\left.\begin{array}{rrr} U\in\tau_{X\setminus A} \Rightarrow (\exists T\in\tau)(U=T\cap (X\setminus A)) \\ \\ f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma} \\ \\ g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x) \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (f[T]\in\tau')(g[U]=f[U]=f[T\cap (X\setminus A)]=f[T]\cap f[X\setminus A]=f[T]\cap (f[X]\setminus f[A])=f[T]\cap (Y\setminus f[A]))$

$\Rightarrow g[U]\in\tau'_{Y\setminus f[A]}.$