Noktanın doğruya göre simetriği-2

Question

Bir $P(a,b)$ noktasının $x+y=c$  doğrusuna göre

simetriğinin $(c-b, c-a)$   ve   $x-y=c$ doğrusuna

göre simetriğinin $(b+c, a-c)$  olduğunu gösteriniz.

Kisaca yansıtıcı doğruda $x=a$ yazilarak simetrik 

noktanin ordinati, $y=b$ yazilarak simetrik noktanin apsisi bulunabilir.

İlgili soru

Comments

Çözmeye çalıştığında zorlandığın yer neresi?

---

Konuları tamamlaması için sordum. Kanıtta sıkıntı yok. Editor olarak amacımız matkafasının içeriğini kullanıcılar için zenginleştirmek. 

Answer 1

$P(a,b)$ noktasının $l:x+y=c$ doğrusuna göre simetriği $P'(x_0,y_0)$ olsun.

Biz $(x_0,y_0)=(c-b,c-a)$ olduğunu göstereceğiz.

$PP'$ doğrusu verilen $l$ doğrusuna dik olacağından eğimleri çarpımı $-1$ olmalı. $l$ 'nin eğimi  $-1$  olduğundan $PP'$' nin eğimi yani $\frac{y_0-b}{x_0-a}=1\Rightarrow x_0-y_0=a-b.........(1)$ Diğer taraftan $[PP']$ nin orta noktası $(\frac{x_0+a}{2},\frac{y_0+b}{2})$,   $l$ doğrusu üzerinde olup doğru denklemini sağlayacaktır.

$\frac{x_0+a}{2}+\frac{y_0+b}{2}=c\Rightarrow  x_0+y_0=2c-a-b..........(2)$ denklemi bulunur.  $(1)$ ve $(2)$ denklemlerinden $x_0=c-b$ ve $y_0=c-a$ elde edilir. 

Diğer doğru içinde benzer yolla istenilen bulunur.  Alper hocanın söylediği gibi gerçekten de uzun uzun işlem yapmadan yansıtıcı doğruda $x=a$ yazılırsa ordinat  ve $y=b$ yazılırsa apsis, pratik olarak bulunuyor.             ; 

Answer 2

Bir noktanın bir doğruya göre simetriği vektörel olarak ta bulunabilir. 

$P(a,b)$ noktasından $x+y-c=0$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $F$ olsun.  $F$ noktasının koordinatlarını  burada  verilen formülle bulabiliriz.  Eğer $P(a,b)$ nin $F$ noktasına göre simetriği (veya x+y-c=0 doğrusuna göre yansıması) $P'$ ise  $P'=2F-P$ den  $P'$ koordinatları bulunur. Aynı yaklaşım ikinci doğru içinde söz onusudur.

Bunun sağlaması okuyucuya bırakılmıştır.