$\def\CC{\mathbb{C}} \def\RR{\mathbb{R}}$
$f: \CC \to \CC $ fonksiyonu $f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)$ kurali ile tanimlanmis olsun. $v(x,y) = 0$ oldugunu, yani $f$'nin goruntusunun tamamen reel oldugunu dusunelim. Cauchy-Riemann denklemlerini inceledigimizde $u_x = v_y$ ve $u_y = - v_x$ olmasi gerektiginden $u_x = u_y =0$ olmasi gerektigini goruyoruz. Bu da $u$'nun sabit olmasi gerektigini soyluyor (neden?). Ama hem $u$, hem de $v$ sabit ise, $f$ de sabit demektir. Sunu gostermis olduk: Eger $f$, goruntusu tamamen reel olan kompleks-turevlenebilir bir fonksiyon ise, $f$ sabit olmak zorundadir. Ote yandan, butun sabit fonksiyonlarin kompleks-turevlenebilir oldugunu biliyoruz.
Simdi bu fonksiyonu $f(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$ kurali ile tanimlanan $f: \RR^2 \to \RR^2$ olarak gorelim. Yine, $v(x,y) = 0$ olsun. Bu durumda $u(x,y)$ turevlenebilir ise, $f$ de turevlenebilirdir. Ornegin, $f(x,y) = (x,0)$ fonksiyonu reel-turevlenebilirdir. Ama yukarida acikladigimiz sebepten dolayi, $f(x + iy) = x$ fonksiyonu kompleks-turevlenebilir degildir.
Ben bunu ilk gordugumde "vay" demistim. Ama kompleks-turevlenebilme gercekten cok guclu bir sey. Picard'in bir teoremi sunu soyluyor:
Eger $f: \CC \to \CC$ fonksiyonu sabit olmayan kompleks-turevlenebilir fonksiyon ise $f$ ya orten olmak zorundadir, ya da $f$'nin goruntusunde olmayan en fazla $1$ eleman vardir. ($f$'nin goruntu kumesinde olmayan iki farkli eleman varsa $f$ turevlenebilir degildir.)
Bunu gorunce de "vay vay vay" dedim.
*Burada turevlenebilmeyi, her noktada turevlenebilme olarak dusunuyorum. Ama verdigim $f(x,y) = (x,0)$ ornegi noktasal turevlenebilmeye de karsi ornek (dogal olarak).