Önce birkaç tanım vererek başlayalım:
Tanım 1. Doğru ya da yanlış bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme diyoruz ve önermeleri genellikle $p,q,r,\ldots$ vs. gibi sembollerle gösteriyoruz.
Tanım 2. İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenin yerine gelebilecek nesnelere göre doğru ya da yanlış olan ifadelere de açık önerme diyoruz ve açık önermeleri genellikle tek değişkenli ise $p(x),\ q(x),\ r(x), \ldots;$ iki değişkenli ise $p(x,y),\ q(x,y),\ r(x,y), \ldots;$ $\ldots;$ $n$ değişkenli ise $p(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ q(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ r(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots$ vs. gibi sembollerle gösteriyoruz.
Örneğin $$p(x):``x^2-1=0"$$
ve $$q(x):``x, \text{Türkiye'de akarsu}"$$ ifadeleri birer tek değişkenli;
$$p(x,y):``x+y=0"$$
ve $$q(x,y):``x\cdot y=0"$$ ifadeleri ise birer iki değişkenli açık önermelerdir.
Açık önermelerdeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirerek önermeler elde edebiliriz. Şöyleki $$\forall x(x^2-1=0)$$ ve $$\exists x(x^2-1=0)$$ifadesi bir önermedir. Bu ifadelerin (önermelerin) doğru ya da yanlış olduğunu söyleyebiliyoruz. Altküme (terimleştiği için birleşik yazıyorum) tanımını -bu açıklamalar muvacehesinde- şöyle yapıyoruz:
$A$ ve $B$ herhangi iki küme olsun ve $$p(x):``x\in A\to x\in B"$$ tek değişkenli açık önermesini ele alalım. Bu açık önermedeki $x$ değişkeninin önüne evrensel (tümel) niceleyiciyi getirerek bir önerme elde ederiz. $$\forall x(x\in A\to x\in B).$$
İşte bu önerme doğruysa $A$ kümesi $B$ kümesinin bir altkümesi veya $B$ kümesi $A$ kümesinin bir üstkümesi deriz. Matematiksel olarak bunu $$A\subseteq B$$ şeklinde gösteririz. Yani $$A\subseteq B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A\to x\in B).$$
Bazı yazarlar $``\subseteq"$ ile $``\subset"$ sembolünü aynı anlamda kullanıyor. Bazı yazarlar ise $``\subset"$ sembolünü özaltküme anlamında kullanmayı yani $$A\subset B:\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge A\neq B)$$ anlamında kullanmayı tercih ediyor. Bu bir tercih meselesi. Baştan bir anlaşma yapıldığı zaman bir karmaşa olmayacaktır. Bazı yazarlarda $``\subset"$ sembolü yerine $``\subsetneqq"$ sembolünü kullanmayı tercih ediyor. Az önce de ifade ettiğim gibi bu bir tercih meselesi. Bir karmaşıklığa yol açmadığı sürece isteyen istediğini tercih edebilir.
Şimdi gelelim boş kümenin her kümenin altkümesi olduğu bilgisine. $A$ herhangi bir küme olsun.
$$\emptyset\subseteq A$$ olduğunu göstermek istiyoruz. $$\emptyset\subseteq A$$ olduğunu gösterebilmemiz için -az önce yukarıda verdiğimiz tanıma göre- $$\forall x(x\in\emptyset \to x\in A)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermemiz gerekiyor. Hipotezi yanlış olan her koşullu önerme doğru olduğundan
$$\forall x(\underset{0}{\underbrace{x\in\emptyset}} \to \underset{p}{\underbrace{x\in A}})\equiv 1$$ olur yani $$\forall x(x\in\emptyset \to x\in A)$$ önermesi doğru olur. O halde altküme tanımı gereğince boşküme, $A$ kümesinin bir altkümesidir. $A$ kümesi keyfi olduğundan boşküme her kümenin bir altkümesidir. Buradan direk olarak $$\emptyset\subseteq \emptyset$$ olduğunu söyleyebiliriz veya şöyle de yapabiliriz: $$\forall x(x\in \emptyset\to x\in\emptyset)$$ önermesinin doğru olduğunu görmek zor olmasa gerek.
Son olarak $``n$ elemanlı bir kümenin bütün altkümelerinin sayısı neden $2^n"$ tanedir" sorusu için bir açıklama ekleyelim.
$n$ elemanlı bir kümenin $0$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom n0$;
$n$ elemanlı bir kümenin $1$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom n1$;
$$\hspace{1.5cm}\vdots$$
$n$ elemanlı bir kümenin $n$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom nn$ tanedir. O halde $n$ elemanlı bir kümenin altkümelerinin sayısı $$\dbinom n0+\dbinom n1+\ldots+\dbinom nn$$ tanedir ve bu $$2^n$$ sayısına eşittir. (Neden? Nedeni sitede mevcut.)