Yarı çevre ve kenarların sıralaması

Question

Bir $ABC$  üçgeninin kenar uzunlukları  $a,b,c$   ve üçgenin yarı çevresi  $s$   olsun. Üçgenin herhangi bir kenar uzunluğunun yarı çevreden küçük olduğunu gösteriniz ve kenarlar için alt ve üst sınırları $s$  cinsinden belirleyiniz.

Answer 1

$ABC$ Üçgeninin kenar uzunlukları $|BC|=a,\quad |AC|=b,\quad |AB|=c$  birim  olsunlar.  Dolayısıyla  $s=\frac{a+b+c}{2}$ dir.  

Varsayalım ki   $a \geq s$ dir.     O zaman, 

$a\geq \frac{a+b+c}{2} \Rightarrow  2a\geq a+b+c\Rightarrow a\geq b+c$  elde edilir ki bu da üçgen eşitsizliği ile çelişir. $a$ için yapılan/düşünülen ispat $b,c$ için de yapılabilir. Demek ki iddia doğrudur.

Kenar uzunlukları için alt ve üst sınırlar üçgen eşitsizliği ile verilebilir. Bunlar; 

$|b-c|<a<b+c$

$|a-c|<b<a+c$

$|a-b|<c<a+b$  şeklindedir. Ancak buradaki alt sınırların en büyük, üst sınırların da en küçük olduklarından emin değiliz. 

 

Comments

Mehmet Hocam sınırları $s$  cinsinden bulmak istiyoruz. Soruya ekledim bunu şimdi.

Answer 2

$b+c\gt a$  ise $a+b+c=2s\gt 2a$     den istenen elde edilir.