$\sum_{n=1}^\infty = \frac{1}{n(n+2)}=\dfrac{3} {4}$ olduğunu gösteriniz

Question

$\dfrac {1}{n}+\dfrac{1}{n+2}- \dfrac{2n+1} {n(n+2)}$ şeklinde ayırıp denedim,bi sonuca ulaşamadım.

Comments

$\dfrac {1}{n}-\dfrac{1}{n+2}- \dfrac{2n+1} {n(n+2)}$ eşitliğini bir daha kontrol eder misin?

---

yanlış yazmışım,düzelttim.

---

Basit kesirlere ayırma yöntemi kullanabilirsin integralde yapıyorduk hatırlarsan 

Kismi toplam formülünü oluştur.($S_n$) bulduğun formülü limitte sonsuza yakınlaştır yaklaşık değer $3/4$ olacaktır.

---

ben basit kesirlere ayırdım gördüğünüz gibi,istediğim sonuç gelmedi burdan

Answer 1

Basit Kesirlere Ayırma yöntemi sana kalsın ondan sonrasında yardımcı olalım..

Şimdi Basit kesirlere ayirma yöntemini uyguladığında bizim kismi toplam formülümüz 

$S_{n}=\sum ^{n}_{n=1}\dfrac {1}{2n}-\dfrac {1}{2n+4}=\dfrac{1}{2}(\sum ^{n}_{n=1}\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+2})$

n yerine $1,2,3......n,n-1$ degerlerini koyarak(bu iste sana kalsın:)) çıkan ifadeninin en sade hali... 

$\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2})=S_n$

Şimdi $S_n$ i limitte sonsuza yakinlastiralim..

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{2}(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2})=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac {1}{n\left( n+2\right) }=\dfrac{3}{4}$ olur.

Comments

iç işlem nasıl 3/4 çıkıyor :) hata var gibi

---

Duzelttim:) anladin demi?

---

basit kesir olayını epey abartmışım :)

de :))

---

Basit kesir olayini birazdan yazarim

---

çözdüm durumu ya,basit kesir kısmını farklı halletmem gerekiyormuş,teşekkürler :)

---

• $\dfrac {1}{n\left( n+2\right) }$=$\dfrac {A}{n}+\dfrac {B}{n+2}\Rightarrow \dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{n(A+B)+2A}{n(n+2)}$
  
• $A+B=0 \Rightarrow 2A=1 \Rightarrow A=\dfrac{1}{2},B=\dfrac{-1}{2}$ $A$ ile $B$ yerine yazıldığında 
  

• $S_n=\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+4}$ olur.
  

---

bu basit kesir olayını integralde unutmuştum,hatırlattığın iyi oldu hocam,iyi çalışmalar diliyorum :)