Tersinirlik ifadesi ile ilgili bir soru

Question

Tersinir olmayan bir elemanın tersinir bir elemanla çarpımının sonucunda tersinir elaman çıkması mümkün müdür ya da buna Bir örnek var mıdır?

Comments

Bu tarz elemanlari ayni sinifta gorursun hatta. Ornegin 2 ve -2 arasinda hangisini sectiginin onemi yok, yine tum pozitif tam sayilari birim ve asallarin ccarpimi olarak yazabilirsin. $$10=1\cdot2\cdot 5=1\cdot(-2)\cdot(-5)=(-1)\cdot2 \cdot(-5)=(-1)\cdot(-2)\cdot5.$$

Answer 1

Mümkün değil. Şöyle ki:

$(G,*)$ monoid; $e,$ $*$ işleminin birim elemanı; $x,$ $G$'nin tersinir olmayan bir elemanı; $y$ ve $z,$ $G$'nin tersinir elemanları olsun.

$x*y=z$ olduğunu varsayalım.

$$x*y=z$$$$\Rightarrow$$ $$(x*y)*y^{-1}=z*y^{-1}$$$$\Rightarrow$$ $$x*(y*y^{-1})=z*y^{-1}$$ $$\Rightarrow$$ $$x*e=z*y^{-1}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=z*y^{-1}$$

elde edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin $($yani $z*y^{-1})$ tersinir olduğunu söylemek zor olmasa gerek ama $x$ tersinir değil. Çelişki.

Comments

Anladım hocam çok teşekkür ederim

---

Benzer şekilde şu da gösterilebilir:

İşlem (çarpım) değişmeli ise, tersinir olmayan bir elemanın herhangi bir eleman ile çarpımı da tersinir olamaz.

Answer 2

$R$ değişmeli bir halka olsun ve bir $r \in R$ alalım. Bu eleman ile çarpma işlemi, $R$ üzerinde $R$-lineer bir fonksiyon tanımlar: $$ç_r: R \to R \\ ç_r(x) = rx$$

Alıştırma 1: Her $r,s \in R$ için, $$ç_{rs}=ç_r \circ ç_s$$ olur.

Alıştırma 2: $r$'nin tersinir olması için gerek ve yeter koşul $ç_r$'nin tersinir (modül izomorfizmi) olmasıdır.

Dolayısıyla senin sorduğun soruyu soruyu şöyle genelleyebiliriz.

Ilk genelleştirme: $f, g: R \to R$ birer $R$-lineer fonksiyonlar olsun. $f$ tersinir değil ise ya da $g$ tersinir değil ise $fg$ tersinir olabilir mi?

Buna benzer bir soru lineer cebirden aşina olduğumuz bir soru. Eğer $A$ ve $B$ birer $n \times n$ matris iseler ve $AB$ tersinir ise $A$ ve $B$ de tersinir olmak zorundadır. 

Vektör uzayı dilinden konuşacak olursak, $V$ sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve $f,g:V\to V$ lineer operatörler ise ve $fg$ tersinir ise $f$ ve $g$ de tersinir olmalıdır.

Ikinci genelleştirme: $M$ sonlu eleman tarafından üretilmiş bir $R$-modül olsun ve $f,g: M \to M$ birer $R$-lineer fonksiyon olsun. Eğer $f$ tersinir değil ise ya da $g$ tersinir değil ise $fg$ tersinir olabilir mi?

***

Buraya tekrar dönüp cevabı tamamlayacağım.