$\mathbb{R}$ ürzerinde $d(x,y)=\frac{\mid x-y \mid}{1+\mid x-y \mid}$ şeklinde tanımlı fonksiyonun bir metrik olduğunu gösteriniz

Question

$d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$ olduğunu gösteremedim.

şunu biliyoruz aslında $\mid x-z \mid \leq \mid x-y\mid + \mid y-z \mid$.

öyleyse $1+\mid x-z \mid \leq 1+\mid x-y \mid +1+\mid y-z\mid$

$\rightarrow$ $\frac{1}{1+\mid x-z\mid} \geq \frac{1}{1+\mid x-y \mid +1+\mid y-z\mid} $

ardından $a,b \geq 0 $  için $\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ olduğunu gösterip eşitsizliğin sağını ayırdım ama bir işe yarattıramadım

artan fonksiyon olmasından da bir şeyler söylenebilir belki

aklıma gelen baska bir sey

$1-\frac{1}{1+\mid x-z \mid} \leq 1-\frac{1}{1+\mid x-y \mid}+1-\frac{1}{1+\mid y-z \mid}$ olduğunu göstermemiz gerek.

$- \frac{1}{1+\mid x-z \mid}+\frac{1}{1+\mid x-y \mid} +\frac{1}{1+\mid y-z \mid} \leq  1$ olmalı. bu toplam en büyük değerini paydaların en küçük olduğu durumda alır yani mutlak değerin 0 olduğu durumda. o da $-1+1+1 = 1\leq 1$ dolayısıyla hep 1'den küçük. yani cevap bu? .

Comments

 ($- \frac{1}{1+\mid x-z \mid}$ in en büyük değeri $-1$ değil.)

$\frac{x}{1+x}$ fonksiyonunun $[0,+\infty)$ aralığında artan olduğunu kullanmaya çalış.

Answer 1

$\frac{x} {1+x} $ fonksiyonu $[0,\infty)$ aralığında artan olduğundan, $x\leq y \leftrightarrow f(x) \leq f(y) $ dir.

üçgen eşitsizliğini kullanırsak

$f(|x-z|) \leq f(|x-y|+|y-z|) $

$\frac{|x-z|}{1+|x-z|} \leq \frac{|x-y|+|y-z|}{1+|x-y|+|y-z|}= \frac{|x-y|}{1+|x-y|+|y-z|} +\frac{|y-z|}{1+|x-y|+|y-z|}  \leq \frac{|x-y|} {1+|x-y|} +\frac{|y-z|}{1+|y-z|}$