$ \mathbb{R} \not \cong \mathbb{Q} $ olduğunu gösterin.

Question

$ Q $ ve $\mathbb{R}  $ toplamaya göre bir grup ve ispatlanması istenilen $ \mathbb{R} \not \cong Q $ ( izomorfik olmadığını gösterin. )

$ Q $ sayılabilir bir küme , $\mathbb{R}  $ sayılamayan bir küme. Buna göre $ \mathbb{R} \not \cong Q $. Ben böyle gösterdim bu yeterli olur mu ? Başka hangi yolla gösterebilir ?

Comments

Q nün, iki eleman tarafından  üretilen her alt grubu devirli midir ?

---

Her devirli grubun alt gruplarıda devirlidir teoreminden yola çıkarak Q devirli değil o zaman alt gruplarıda değil.

---

O mantığa göre tamsayılar grubu ($(\mathbb{Z},+)$) devirli olmaz!

($p\implies q$ nin doğru olması  $q\implies p$ doğru olmasını gerektirmez. 

Örnek: her rasyonel sayı gerçel sayıdır ama her gerçel sayı rasyonel değildir)

---

hocam haklısınız , grup sonlu ise yazdığım teorem geçerli olmalı.

---

Grup sonlu olsa da (senin çıkarımın) yanlış. 

Teorem şunu der:

Bir devirli grubun her alt grubu devirli gruptur  ($p\implies q$)

Senin yazdığın ($ p'\implies q'$)

Bir grup devirli değilse alt grupları da devirli değildir.

önermesi (verdiğim örnekten görüldüğü gibi) yanlıştır.

"Sonlu bir grup devirli değilse alt grupları da devirli değildir" önermesi de yanlış.

Tam "tersi yönde" (kolayca ispatlanabilen) doğru bir önerme:

Devirli olmayan her grubun en az iki farklı devirli alt grubu vardır"

(Birini bulmak çok kolay: $G$ grubunun $\{e\}$ (birim elemandan oluşan) alt grubu devirlidir.)

Ek: "Devirli olmayan her grubun en az üç farklı devirli alt grubu vardır" da doğru.

---

hocam dediklerinizi anladım ama devamını getiremedim.

---

Sayılabilirlik kullanarka yapılan ispatt elbette doğru. Benim ipucum başka bir ispat içindi.

http://matkafasi.com/122886/mathbb-grubunun-sonlu-dogurulmus-alt-gruplari-devirlidir

sorusundaki iddiayı doğru kabul et. Şimdi $\mathbb{R} \not \cong \mathbb{Q}$ i gösterebilir misin?

Answer 1

Ek cevap :

$  \varphi $ homomorfizmaya ek olarak birebir ve örtense izomorftur. ( $ \varphi $ bir fonksiyon )

$\varphi :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} $

$ \varphi \left( \sqrt {2}\right) \rightarrow b , b\in \mathbb{Q}  $ (Böyle bir $ b $ mevcut değil.)

$\mathbb{R}  $ den aldığım her elemanı $ \mathbb{Q}  $ ya götüremiyorum. Yani $  \varphi $ örten değil.O zaman izormorfluktan söz edemeyiz.

Comments

(Bosluklari duzenledim. Alta dogru birkac fazla bosluk vardi.)

---

Neden $\sqrt{2}$ bir rasyonel sayiya gidemiyor?

---

Sanırım mbugday, halka olarak izomorfik olmadığını göstermiş. (Benim " $\mathbb{R}$ nin bir özelliği "sorusu bunu gösteriyor.)

---

hocam ben aslında şunu demek istemiştim. R , Q'yu içeriyor bunu biliyoruz. Reelden aldığım her sayı örnek olarak ( $ 1\rightarrow 1 $ (Reelden aldığım $1$ sayısını Qdaki $1$e götürebiliyorum.) ama $ \sqrt {2}\rightarrow ? $ $\sqrt {2}$ye karşılık bir değer yok Q da. )

Answer 2

$(\mathbb{R},+)$  grubunun $(\mathbb{Q},+)$  grubuna izomorfik olduğunu kabul edelim.

O zaman, http://matkafasi.com/122886/mathbb-grubunun-sonlu-dogurulmus-alt-gruplari-devirlidir probleminden dolayı,  $(\mathbb{R},+)$  grubunun da her sonlu doğurulmuş alt grubu devirli olur.

Ama $(\mathbb{R},+)$  nin $1$ ve $\sqrt2$ tarafından doğurulan alt grubunun devirli olmadığını biliyoruz (neden?)

Çelişkiye ulaştık. Öyleyse $(\mathbb{R},+)$  grubu $(\mathbb{Q},+)$  grubuna izomorfik değildir.