Question

$(X,d)$ metrik uzay olmak üzere$$``(a\in X)(\epsilon>0)\Rightarrow \overline{B(a,\epsilon)}=\overset{\sim}{B}(a,\epsilon)"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız. 

Yani "bir metrik uzayda $x$ merkezli $r>0$ yarıçaplı açık yuvarın kapanışı her zaman $x$ merkezli $r>0$ yarıçaplı kapalı yuvara eşittir" önermesi doğru mudur?

Not: $\overset{\sim}{B}(x,r):=\{y|d(x,y)\leq r\}$

Comments

Murad ben senin sorularini pek takip edemiyorum. Cogu insanin da edebildigini ya da edebilecegini dusunmuyorum. Sebebi su sekilde aciklayayim:

Ortada notasyonlar vs oluyor. Cogunu anlamiyorum. Global bir notasyon mu, sen mi tanimliyorsun ayirt edemiyorum. O notasyonu senin sorularinda arayip bulabiliriz ya da tahmin edebiliriz belki fakat bunu tahmin etmek vs de ayri bir yorucu oluyor. (bazen edemiyoruz da). 

Bence bir ya da birkac baslik altinda bu konu nedi, neler amacliyorsun; bunlari da bize versen. Genel tanimlari o baslik altinda toparlasan daha iyi olur. Bu sekilde hem neden ogrenmemiz gerektigini de gormus oluruz (cogu insan bunu da merak ediyor) ve tanimlari rahat bir sekilde bulup takip edebiliriz.

http://matkafasi.com/17191/%24-boxed-star-%24kitap-uniteleri-ve-makaleler

Buradaki gibi olabilir. Ben basliklarda neler yaptigimi vs anlattim, detaylara cevaplarda girdim. Sen de bu sekilde (konuna uyacak bir stilde) bir toparlama yaparsan emeginin daha faydali olacagini dusunuyorum.

---

Mesela Cauchy kapanisi internetten arayip bulabilirim fakat B tilde ( a, epsilon ) gibi bir seyi googla'a yazinca ne cikacak emin degilim.

---

Bir sonraki sorumda $$\overset{\sim}{B}(x,r):=\{y|d(x,y)\leq r\}$$ notunu düşmüşüm. Ama bu soruda atlamışım. Şimdi ekledim. İkincisi genel olarak evrensel notasyonları kullanıyorum Sercan. Ekstra bir notasyon kullanırsam bunu açıklıyorum. $$\overset{\sim}{B}(x,r)$$ gösterimi Erwin Kreyzig’in Introduction to Functional Analysis kitabında da kullanılan bir notasyon.

Answer 1

$\mathbb{R}$'de $$d(x,y):=\left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & x=y \\ 1 & , & x\neq y \end{array}\right.$$ olmak üzere

$$\overline{B(0,1)}=\overline{\{0\}}=\{0\}\neq\mathbb{R}=\overset{\sim}{B}(0,1)$$ olduğundan söz konusu önerme her zaman doğru değildir.