Kompakt Uzay ile ilgili bir soru

Question

$(X,\tau_1) , \ (Y,\tau_2) \text{ topolojik uzaylar ve } X\neq Y  \\ \text{ olmak üzere}$

$``(X, \ \tau_1 \text{- kompakt}) (\tau_1\subseteq\tau_2) \Rightarrow Y, \ \tau_2 \text{-kompakt} " $

$\text{önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.}$

Answer 1

$X\neq Y $ olduğundan dolayı topolojilerin kıyaslanamama durumu vardır.

Topolojilerin kıyaslanamama durumunda:

$\underset{p}{\underbrace{(X, \ \tau_1 \text{-kompakt})}} \  \underset{0}{\underbrace{(\tau_1\subseteq\tau_2)}} \Rightarrow \underset{r}{\underbrace{{Y, \ \tau_2 \text{-kompakt}}}}$ $$\equiv$$$$(p\wedge 0) \Rightarrow r$$$$\equiv$$$$0\Rightarrow r$$$$\equiv$$$$1$$

olduğundan söz konusu önerme doğrudur.

İkinci durum olarak topolojilerin kıyaslanabildikleri durumu inceleyelim:

$X=\{x_1,x_2,...,x_n \big{|} x_i\in\mathbb{R} ,\ i=1,2,...,n\}$ ve $  \ \tau_1=P(X) , \ Y=\mathbb{R}$  ve $\tau_2=P(\mathbb{R})$olmak üzere

$ \ X, \ \tau_1$-kompakt ve  $\tau_1\subseteq\tau_2$ olmasına karşın $Y,\ \tau_2$-kompakt değildir

O halde söz konusu önerme yanlıştır.