Artan (azalan) ve üstten (alttan) sınırlı bir dizi Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca yakınsak olduğundan genel terimi $$e_n=\left(1+\frac1n\right)^n$$ olan $$(e_n)_n$$ dizisinin artan (azalan) ve üstten (alttan) sınırlı olduğunu gösterirsek yakınsak olduğunu göstermiş oluruz.
Artanlığını göstermek için Geometrik Ortalama $(GO)$ ile Aritmetik Ortalama $(AO)$ arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz. Her $n\in\mathbb{N}$ için
$$\sqrt[n+1]{\left(1+\frac1n\right)^{n}}=\sqrt[n+1]{1\cdot\left(1+\frac1n\right)^{n}}\leq \frac{1+ \overset{n \text{ tane}}{\overbrace{\left(1+\frac1n\right)+\left(1+\frac1n\right)+\cdots +\left(1+\frac1n\right)}}}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$
$$\Rightarrow $$
$$e_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}\leq \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}=e_{n+1}$$ olduğundan $$(e_n)_n$$ dizisi artandır.
Şimdi de dizinin üstten sınırlı olduğunu gösterelim. Üstten sınırlı olduğunu göstermek için de Binom Teoremi’nden faydalanacağız.
$e_n=\left(1+\frac1n\right)^{n}=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}1^{n-k}\left(\frac1n\right)^k= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\frac1{n^k}$
$=\dbinom{n}{0}\frac1{n^0}+\dbinom{n}{1}\frac1{n^1}+\dbinom{n}{2}\frac1{n^2}+\cdots + \dbinom{n}{n}\frac1{n^n}$
$=1+1+\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}+\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}+\frac{1}{4!}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n^4}+\cdots +\frac{1}{n!}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (n-(n-1))}{n^n}$
$=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\frac{1}{4!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})\cdots (1-\frac{n-(n-1)}{n})$
$\leq 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}$
$\leq 1+1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$
$\leq 1+1+\underset{1-\frac1{2^{n-1}}}{\underbrace{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3$
olduğundan dizi üstten sınırlıdır. Dolayısıyla dizi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca $$(e_n)_n$$ dizisi yakınsaktır.