Question

Cauchy dizisi tanımından hareketle $\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}\right)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Comments

bu dizi bilindigi uzere $e$ ye yakinsar. Gene unlu bir teoreme gore her yakinsak dizi bir cauchy dizisidir desem olmuyor yani ?

---

Olur ama ben tanımdan hareketle Cauchy dizisi olduğunun gösterilmesini istedim :-)

Answer 1

$(x_n)=\left(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots +\frac{1}{n!}\right)_n$  olmak üzere  $n\gt m$ ve  $n=m+k$ olsun. $$|x_n-x_m|=\left|\dfrac{1}{(m+1)!}+...+\dfrac{1}{(m+k)!}\right|$$ olur. $$\dfrac{1}{(m+1)!}\lt \dfrac{1}{m}$$  $$\dfrac{1}{(m+2)!}\lt \dfrac{1}{m^2}$$  eşitsizliklerinden $$\dfrac{1}{(m+k)!}\lt \dfrac{1}{m^k}$$ olduğu sonucuna ulaşabiliriz.

Dolayısıyla verilmiş bir $\epsilon\gt 0$ için $N\lt \dfrac{1}{\epsilon}$ olacak şekilde bir göstergeç seçersek her $m\gt N$ için $$|x_n-x_m|=\left|\dfrac{1}{(m+1)!}+...+\dfrac{1}{(m+k)!}\right|\lt \dfrac{1}{m}+...+\dfrac{1}{m^k}=\dfrac{1}{m-1}\left(1-\dfrac{1}{m^k}\right)\lt \dfrac{1}{m-1}\le \dfrac{1}{N}\lt \epsilon$$ olacağından $(x_n)_n$ bir Cauchy dizisidir.