$ H=\{ 3a+b\sqrt {3}i,a,b\in \mathbb{Z} ,a\equiv b\left( 2\right) \} $
$ H\leq \mathbb{C}$ olduğunu gösterin ve $ \varphi $ şöyle tanımlanıyor.
$ \begin{aligned}\varphi : <H,+ >\rightarrow <\mathbb{Z} ,+\rangle \\ 3a+b\sqrt {3}i\rightarrow \dfrac {3a-b}{2}\end{aligned} $
$ \ker \varphi =? $
Soruyu çözerkenki adımlarımı buraya yazıyım. $H$ toplamaya göre grup olduğundan $ a+b\in H $ ve $ a^{-1} $ mevcut mu diye bakmalıyım.
$ a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in \mathbb{Z} $ öyle ki $a_{1}\equiv b_{1}\left( 2\right) ,a_{2}\equiv b_{2}\left( 2\right) $
$\left( 3a_{1}+b_{1}\sqrt {3}i\right) +\left( 3a_{2}+b_{2}\sqrt {3}i\right) =3\left( a_{1}+a_{2}\right) +\left( b_{1}+b_{2}\right) \sqrt {3}i\in H$
$ \begin{aligned}3a+b\sqrt {3}i+d=0\\ d=-3a-b\sqrt {3}\in H\end{aligned} $
kernel için :
$\ker \varphi :\{ x\in G,\varphi \left( x\right) =e_{H} \}$
$ \begin{cases}\varphi \left( x\right) =0\\ \dfrac {3a-b}{2}=0\\ 3a=b\end{cases} $
Bunları yaptım fakat bunları gösterirken bir eksik veya yanlışlık mevcut mu ? Kernel için $3a=b$ yeterli mi?