Question

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}$$ toplamını bulabilir miyiz? 

Comments

Benim son iki sorum, bu toplamı hesaplamak için hazırlık idi.

---

Ben de sizin son iki sorunuza farklı bir çözüm sunmak için bu toplamın sonucunu sormuştum.

Answer 1

$|x|\leq1$ için $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$ olsun (Abel in makalesinde de aynı fonksiyon var)

$|x|<1$ için $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}$ ve $xf'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$ olur.

Buradan ($f(0)=0$ olduğunu da kullanarak) , 

Her $|x|<1$ için $f(x)=-\int_0^x\frac{\ln (1-t)}t\,dt$ olduğu görülür.

Bu eşitlikten de (Abel in makalesinin sonunda görülen):

(http://matkafasi.com/124575/%24-int_0-frac12-frac-ln-1-x-x-dx%24-integralini-hesaplayiniz sorusunda da gösterilen)

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}=\textstyle f(\frac12)=\displaystyle-\int_0^{\frac12}\frac{\ln (1-t)}t\,dt=\frac{\pi^2}{12}-\frac12(\ln2)^2$ 

elde edilir.