İddiayı Tümevarım ile kanıtlayacağız:
1. $n=1$ (dolayısıyla $n=0$ için de)
$f_1(x)=\begin{cases}e^{1-\frac1x}\quad x>0\\0\qquad\quad x\leq0\end{cases}$ için $f_1'(x)=\begin{cases}\frac1{x^2}e^{1-\frac1x}\quad x>0\\0\qquad\quad x\leq0\end{cases}$ olur.
($f(1)=1$ koşulunu sağlaması için, http://matkafasi.com/124107/bu-fonksiyonun-her-herde-turevlenebildigini-gosteriniz deki fonksiyonu $e$ ile çarpıyoruz. Diğer koşulları sağladığı,o soruda gösterilmiş idi) istenen tüm özelliklere sahiptir.
2. Bir $n$ doğal sayısı için $f_n$ böyle bir fonksiyon olsun.
$f_{n+1}(x)=\dfrac{\int_0^xf_n(t)\,dt}{\int_0^1f_n(t)\,dt}$ olarak tanımlayalım.
$f_{n+1}(0)=0$ ve $f_{n+1}(1)=1$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}(x)\geq0$ olduğu, açıktır.(*)
Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoreminden, her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}'(x)=f_n(x)$ olur. Bunun sonucu olarak da, her $k$ doğal sayısı ve her $x\in\mathbb{R}$ için $f_{n+1}^{(k+1)}(x)=f_n^{(k)}(x)$ olur.
Bu da, * ile birlikte, tümevarım hipotezinden,$0\leq k\leq n+1$ ve her $x\in\mathbb{R}$ için, $f_{n+1}^{(k)}(x)\geq0$ koşulunun sağlandığını göstermek için yeterlidir.
(edit: küçük imla düzeltmeleri yaptım)