$\forall x\in\mathbb{R}$ için $7f'(7x+1)=49f'(x)$ ve $f''(7x+1)=f''(x)$ sağlanır.
$7x+1=x$ sadece $x=-\frac16$ için sağlanır. Bu nedenle $f'(-\frac16)=f(-\frac16)=0$ olmalıdır.
Yazma kolaylığı bakımından, $g=f''$ diyelim.
$\forall x\in\mathbb{R}$ için $g(7x+1)=g(x)$ olması periyodik olmaya BENZER bir özellikdir.
$g$ nin $(-\frac16,+\infty)$ arasındaki tüm değerlerinin, $[0,1)$ aralığındaki değerlerinin tekrarı olduğunu (ve o aralıktaki değerler tarafından belirlendiğini) gösterir. Aynı şey, $(-\infty,-\frac16)$ ve $[-6,-1)$ aralıkları için de geçerlidir.
(Sorunun püf noktası: Her iki aralık (başka benzer aralıklar) da, (aşağıda tanımlanan) $h$ uygulandıkça, gittikçe $-\frac16$ ya "yaklaşan" aralıklara dönüşür. Bu, bize, $g$ nin, $-\frac16$ yi içeren her açık aralıkta, görüntü kümesindeki tüm değerleri alacağını gösterir. Bu da, sürekli oluşu nedeniyle, $g$ yi sabit olmaya zorlayacaktır.)
$h(x)=\frac{x-1}{7}$ ($7x+1$ in ters fonksiyonu) olsun, $g\circ h=g$ olur.
$\forall a>-\frac16$ için $(h^{n}(a))_{n=1}^{\infty}$ ($n$ kez bileşke) dizisinin $-\frac16$ ya yakınsadığı Monoton Yakınsaklık Teoremi kullanarak (ya da doğrudan hesaplanarak) görülür. Benzer şekilde, $\forall a<-\frac16$ için $(h^{n}(a))_{n=1}^{\infty}$ dizisi de $-\frac16$ ya yakınsar.
($g\circ h=g$ olduğu için) $\forall a>-\frac16$ için, $(g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} $ sabit ($=g(a)$) bir dizidir.
$g$ fonksiyonu, $-\frac16$ da sürekli olduğu için, $(g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} $ dizisi $g(-\frac16)$ ya yakınsar, limitin biricik oluşundan, $g(a)=g(-\frac16)$ bulunur.
Benzer şekilde, $\forall a<-\frac16$ için, $g(a)=g(-\frac16)$ bulunur.
Bu da, $g$ nin sabit fonksiyon olması demektir. ($f''$ nin yalnızca $-\frac16$ da sürekli olması yeterlidir.)
$\forall x\in\mathbb{R}$ için $g(x)=c$ olsun.
Bu da (böyle bir fonksiyon varsa), $f$ nin, en çok 2. derece polinom olduğunu gösterir.
Daha önce fark ettiğimiz, $f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0$ gözlemini de kullanırsak, (böyle bir fonksiyon varsa), $f(x)=\frac c2(x+\frac16)^2$ olması gerektiğini buluruz.
($\forall c\in\mathbb{R}$ için) Bu fonksiyonların ($\forall x\in\mathbb{R}$ için) $f(7x+1)=49f(x)$ koşulunu da sağladığı kolayca görülür.