$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ [kapalı]

Question

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$  denklemini doğal sayılarda çözünüz.

İlgili soru

Comments

$x=y=z=3$ esitligi saglar..

---

Başka çözümler de var.

---

(x,y,z) bir çözüm ise (4,4,2),(4,2,4),(2,4,4) birer çözümdür.

---

(2,3,6) çözümü de var

---

Simetriden dolayı $(4,4,2)$ çözümünü vermek yeterli aslında. 

---

Bu soruya cevap verildiğini düşünüyorum. Sitede soru bulmak zor olduğundan hangi soru ve cevap altında olduğunu bilmiyorum. 

Soru sayısı arttıkça site arama motoru daha da kötü bir hal aldı. Anahtar kelime vs pek sallamıyor. Kendi sorularımı bile bulamıyorum. 

---

Bayağı bi aradım fakat göremedim aynısından (sonradan gördüm).Yorumlarımıza da ulaşabilsek ilgilendiğimiz sorulara daha kolay erişebilirdik.

---

Aa ben bu soruyu gormemisim. Bu soru cok guzel bir soru, buradan Dynkin diagramlara, Platonik cisimlere, sonlu sayida indirgenemez modulu olan sonlu boyutlu cebirlere ve daha bircok yere gidis var.

---

Burdaymış:
https://matkafasi.com/127

---

Bunların sonlu $n$ tane birim kesir (payı 1 olan kesirler) için birkaç çözüm metodu  var (sitede  $n=2$ ve $n=3$ için çözümler var) ve pozitif tam sayılardaki çözüm sayısı sonlu Özgür hocam. Bununla alakalı bir soru sormayı düşünüyorum. Sanki bahsettiğiniz konulardan daha önce bahsedildi diye hatırlıyorum.Pek bilmesem de aradaki bağı merak ettim doğrusu. Platonik cisimlerle Platonik katılar aynı şey mi?

---

Etiketleri değiştirdim. İlgili sorular kısmında da gözüküyor artık Sercan Hocam.

Answer 1

$x\leq y\leq z$ varsayabiliriz. (daha sonra permütasyon ile tüm çözümleri buluruz)

$x>1$ olacağı kolay.

$x\geq3$ ise $x=y=z=3$ olmak zorunda. 

Öyleyse geriye sadece $x=2$ durumu kalır.

$x=2$ ise $\frac1y+\frac1z=\frac12$ olması gerekli ve yeterlidir.

Bu da $yz=2(y+z)$ olması demektir. Önceki sorudaki gibi:

$(y-2)(z-2)=4$ denklemine eşdeğerdir.

Bu da, $2\leq y\leq z$ olduğunu da göz önüne alarak,

$y-2=z-2=2$ ya da $y-2=1,z-2=4$ olmalıdır.

Bunlar da $y=z=4$ ve $y=3,z=6$ çözümlerini verir.

Sonuç olarak $x\leq y\leq z$ şeklindeki çözümler:

$(3,3,3),\ (2,4,4),\ (2,3,6)$ olur.

Bunların permütasyonları tüm çözümleri verir.

Answer 2

Genelliği bozmadan $x<y<z$  diyelim.

O zaman $1/x>1/y>1/z$

$1/x>1/z,1/x>1/y,1/x\ge1/x$ eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak $$3/x>1/x+1/y+1/z$$ olur. Benzer olarak $$3/z<1/x+1/y+1/z$$ O zaman $3/z<1<3/x$ yani $x<3$ ve $z>3$ olmalıdır. $x\ne1$ olduğundan $x=2$ olmak zorundadır. Çözümün devamı yukarıdaki gibi yapılarak $y=3,z=6$ bulunur.