$(\Rightarrow ): \ x-1 < 0 \Rightarrow [ x-1 \neq 0 \ \wedge \ x-1 \leq 0 ] $
olduğundan $$ [ x-1 \neq 0 \ \wedge \ x-1 \leq 0 ] $$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$ 0 < x-1 $ olduğunu varsayalım ve $ x-1 \notin\mathbb{N} $ olsun.
$\left.\begin{array}{rr} x-1\notin\mathbb{N} \\ \\ 0\in\mathbb{N} \end{array}\right\} \Rightarrow x-1\neq 0 \ ...(1) $
Diğer taraftan
$ 0< x-1 \Rightarrow( 0\leq x-1 \ \wedge \ 0\neq x-1 )\Rightarrow 0\leq x-1$
$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow 1\leq x \overset{?} \Rightarrow x-1\in\mathbb{N} \\ \\ x-1\notin\mathbb{N} \end{array}\right\} \Rightarrow \text{ Çelişki.}$
O halde varsayımımız yanlıştır. Yani $x-1 \leq 0 \ ...(2) $
$$(1),(2) \Rightarrow x-1 < 0 $$
olur.
$(\Leftarrow ): $ $$ [x\in\mathbb{N} \Rightarrow 0\leq x ] \equiv \ [ x<0 \Rightarrow x\notin\mathbb{N} ]$$
olduğundan $$ x-1 < 0 \Rightarrow x-1\notin\mathbb{N} $$
olur.