Question

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ denkleminin pozitif tamsayı çözümleri nelerdir?

Answer 1

\begin{equation*}
a\leq b\leq c \end{equation*}
varsayalım. Bu durumda denklemin 3 çözümü vardır. $%
\left( 3,3,3\right) ;\left( 2,4,4\right) $ ve $\left( 2,3,6\right) .$}

İlk çözüm aşikardır. Sayılar içerisinde farklı olanlar varsa, tam olarak bir tanesi 3 ten küçük yani 2 olmalıdır.
O halde denklem
\begin{equation*}
\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}
\end{equation*}
şekline dönüşür. $\left( b,c\right) =\left( 4,4\right) $
aşikar çözümdür. Sayılar eşit değilse birisi 4 ten küçük yani 3 olmalıdır. O halde

$\left( b,c\right)=\left( 3,6\right) $

Answer 2

Genelliği bozmadan $a\le b\le c$  diyelim.

O zaman $1/a>1/b>1/c$

$1/a\ge1/c,1/a\ge1/b,1/a\ge1/a$ eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak $$3/a\ge1/a+1/b+1/c$$ olur.

Benzer olarak $$3/c\le1/a+1/b+1/c$$ O zaman $3/c\le1\le3/a$ yani $a\le3$ ve $c\ge 3$ olmalıdır. $a\ne1$ olduğundan $a=2$ olmak zorundadır. Çözümün devamı yukarıdaki gibi yapılarak $b=3,c=6$ bulunur.

Comments

Genelliği bozmadan $a\leq b\leq c$ kabul ederseniz daha doğru olur Alper hocam. Bazı eşitlik durumlarından gelebilecek $(a,b,c)=(3,3,3), (2,4,4)$ çözümleri sizin çözümünüzde görünmüyor. Elinize sağlık.

---

Hepsi birbirinden farklı çözümleri gözönüne almıştım. Genel çözüm için eşitliği de alayım. Teşekkürler Lokman Hocam.