Anlayamadıgım bır sorundan dolayı hatalı yazılıyor, cevabın gosterımı aşağıdadır.
$$-----------------------$$
Ortadaki ifadede $a_0$ yalnız bırakılırsa eşitsizliğimiz
$$na_n-(a_1+\cdots+a_n) < a_0 \leq na_{n+1}-(a_1+\cdots+a_n)$$
haline dönüşür. Bu ifadeyi de
$$ \sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i) < a_0 \leq \sum_{i=1}^n (a_{n+1}-a_i)$$
halinde düzenleyebiliriz. Şimdi, $(b_n)$ dizisini
$$ b_n=\sum_{i=1}^{n-1} (a_n-a_i)$$
olmak üzere tanımlayalım. Eşitsizliğimizi bu yeni tanımla
$$ b_n < a_0 \leq b_{n+1}$$
şeklinde yeniden yazabiliriz. Elimizdeki $a_n$ dizisi bir artan tamsayi dizi olduğundan $n>i$ için $a_n-a_i \geq 1$ olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla
$$ b_n=\sum_{i=1}^{n-1} a_n=a_i \geq n-1$$
sonucuna varıyoruz. Buradan da
$$ \lim_{n \to \infty} b_n=\infty$$
olduğu edilir. Ayrıca kısa bir hesapla
$$ b_{n+1}-b_n=n(a_{n+1}-a_n)>0 $$
olduğundan $(b_n)$ dizisinin artan olduğunu görürüz. $b_1=0$, $\lim b_n=\infty$ ve $b_n$ artan olduğundan $(0,\infty)$ aralığı $I_n=(b_n,b_{n+1}]$ aralıklarının ayrık bileşimidir ve $a_0>0$ sayısı bu aralıkların sadece birine, örneğin sadece $I_m$ aralığına düşer. Dolayısıyla soruda verilen eşitsizliğe denk olan
$$ b_n < a_0 \leq a_{n+1} $$
eşitsizliği sadece bu $n=m$ pozitif tamsayısı için sağlanır.