$k$ ve $n$ birer pozitif tamsayı olsun. $$1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+ \frac{1}{m_1}\right)\left(1+ \frac{1}{m_2}\right) \cdots \left(1+ \frac{1}{m_k}\right)$$ eşitliğini sağlayan $k$ tane $m_1, \dots, m_k$ pozitif tamsayısı vardır.

Question

$m_1, \dots, m_k$ farklı sayılar olmak zorunda değil.

Answer 1

$n$ üzerinden tümevarım yapalım.

$n=1$ için her $k$ pozitif tamsayısı için $(m_1,m_2,...,m_k)=(1,1,...,1)$ k'lısının eşitliği sağladığı görülür.

Her $n\leq N$ için eşitliği sağlayan k'lıların varlığını kabul edelim. $n=N+1$ durumu için eşitliği sağlayan bir $(m_1,m_2,...,m_k)$ k'lısına örnek bulursak ispat biter.

$L = 1+\frac{2^k-1}{N+1}=\frac{2^k+N}{N+1}$ diyelim. 

$i)$ $N=2m$ yani çift ise;

$L=\frac{2^k+2m}{2m+1}=\underset{A}{\underbrace{\frac{2(m+1)}{2m+1}}}.\underset{B}{\underbrace{\frac{2^{k-1}+m}{m+1}}}$ şeklinde yazalım. $m_1$ sayısını $2m+1$ seçersek $1+\frac{1}{m_1}=\frac{2(m+1)}{2m+1}=A$ olur. $B$ sayısının da $n=m$ durumu olduğu barizdir ve tümevarım gereği ($m\leq N = 2m$ olduğundan) eşitliği sağlayan $(x_1,x_2,...x_{k-1})$ k-1'lisi vardır. O halde $n=N+1$ için $(2m+1,x_1,x_2,...,x_k)$ k'lısı şartı sağlar

$ii)$ $N=2m+1$ yani tek ise;

$L=\frac{2^k+2m+1}{2m+2}=\underset{A}{\underbrace{\frac{2^k+2m+1}{2^k+2m}}}.\underset{B}{\underbrace{\frac{2^{k-1}+m}{m+1}}}$ şeklinde yazalım. Benzer şekilde $m_1 = 2^k+2m$ seçerek  $1+\frac{1}{m_1}$ çarpanından $A$ kesrini elde ederiz. Ve yine tümevarım gereği ($m\leq N = 2m+1$ olduğundan) $B$ için $(x_1,x_2,...x_{k-1})$ k-1'lisi vardır. O halde $n=N+1$ için $(2^k+2m,x_1,x_2,...,x_k)$ k'lısı şartı sağlar