x'=1+x+x^2cost , x(0)=0 başlangıç değer probleminin -1/3≤ x≤1/3 aralığında bir çözüme sahip olduğunu gösteriniz.

Question

Nümerik analiz / Diferensiyel denklemler

Comments

f(t,x)=1+x+x^2cost ve (t0.x0)=(0,0) olarak verilmiş.Buradan

R={(t,x):[t] ≤ α,[x]≤ ß olmak üzere f fonksiyonu

[f(t,x)]≤ (1+x+x^2)=M

min(α,ß/M)≥1/3 olsun.

α=1/3 alabiliriz. Ohalde x=1 için M=3,ß=1 olur

Böylelikle varlık teoreminden çözüm olduğu görülür.

---

Hocam bu şekilde yaptık ama tam emin değiliz sizin bir fikriniz var mı acaba ?

---

Bu yazdıklarında (kopyala yapıştır  dan sanırım)  bir şey anlaşılmıyor.

Daha düzgün $\LaTeX$ ile (üstte kılavuzu var) veya klavyeden yazabilir misin.

---

Bu şekilde ilerleyebildim.

---

$\beta$ ve $M$ değerleri nasıl bulundu?

---

Hocam x=1 değerleini verdiğimde

Aslında o kısımdan sonra ben de de karıştı yardımcı olabilir misiniz

---

"$\min\{\alpha,\frac\beta M\}=\frac13$ olsun" değil, "$\min\{\alpha,\frac\beta M\}=\frac13$ olmasını istyoruz" diye başlamalısın.

Bir de bağımsız değişken $x$ değil, $t$. $x=1$ için ne demek?

$-\frac13\leq t\leq \frac13$  iken $\beta$ en az (veya en çok, hangisi gerekiyor ise) kaç olabilir?

$-\frac13\leq t\leq \frac13$  iken $M$ en az (veya en çok, hangisi gerekiyor ise) kaç olabilir?

Bunların cevabını bulup, daha sonra, aralığın uzunluğu  için o eşitsziliği kullanabilirsin.

---

Bir yol da (herhalde istenen o değil ama) Başlangıç Değer Problemini çözmek! (Sanki çözüm bu işlemlerden daha kolay gibi)

Düzeltme: Çözüm hiç de kolay değil. Ben $\cos t$ yi unuttum. O olmasa kolay olacaktı!)

---

Hocam o zaman orda x ne olmalı ki M değerini bulabileyim

---

Burada (ve genelde) $\beta$ ile $M$ bağımsız değil. Birbirleri ile ilişkili.

Birbirleri ile ilişkisini anlamalısın. Diferansiyel Denkleme iyi bakarsan o ilişkiyi çıkarabilirsin.

---

Evet hocam oradaki birbirleriyle olan ilişkisini tam çıkaramıyorum.

Aslında orayı çıkartsam çözüme ulaşacağım ama olmuyor

---

Aslında, bu problemi çözmek için, o ilişkiyi tam olarak anlamak gerekli değil sanırım.

....... ise .......$\min\{\alpha,\frac\beta M\}$  .... aralığında çözüm vardır.

teoeminin başlangıç (=hipotez: başlangıçtaki  ....) kısmını dikkatli okumanın yeterli olacağını sanıyorum.

O Teoremin ifadesini eksiksiz yazabilir misin?

---

Hocam teoremler bunlar 

---

O zaman işin çok kolay.

---

Yani size attığım doğru oluyor mu bunlara göre