Üssüz $S$ sistemine göre sabit $\vec{v}$ hızıyla giden üslü $S'$ sistemi arasında bir dönüşüm nasıl yapılır?
Sorunu çözerken ışık hızı $c$ nin tüm eylemsiz referans sistemleri için hızının sabit olduğunu kabul edelim. Bir de sadece yazım kolaylığı olsun diye $\vec{v}$ yi $\widehat x$ de ele alalım.
Amacımız $S'$ daki $(x',t')$ için $S$ den doğrusal bir dönüşüm yazmak. Daha sembolik hali ise:
$$ x' = ax + bt $$
$$ t' = dx + ft $$
deki $a$, $b$, $d$ ve $f$ yi hesaplamak.
Tabii ki de
$$ y' = y $$
$$ z' = z $$
olduğu aşikardır.
{Lorentz Dönüşümü}
Başlangıç anı için saat ve başlangıç noktalarını,
$$ x' = x = 0 $$
$$ t' = t = 0$$
şeklinde ayarlarlayalım.
$$ x' = ax + bt $$
denkleminde üslü koordinatların kendisi için başlangıç noktası $x'= 0$ olduğunda üssüz için bu nokta $x = vt $ olacağaından son denklik
$$ x' = 0 = avt + bt $$
den
$$ b = - av $$
ve denklem,
$$ x' = ax - avt = a ( x - vt ) $$
Diyelim ki bu başlangıç anaında bir ışık çakarı çaktık ve bunu gözlemliyoruz. O halde ışık iki sistem açısından,
$$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2$$
$${x'}^2 + {y'}^2 + {z'}^2 = c^2 {t'}^2$$
olur. Üslü denklemde dönüşümlerimizi yazalım ve elde ettiğimiz denklemi üssüz denkleme eşitleyelim.
$$(a(x-vt))^2 + y^2 + z^2 = c^2 (dx+ft)^2$$
$$(a^2 - c^2 d^2) x^2 - 2(v a^2 + c^2 f d) tx + y^2 + z^2 = (c^2 f^2 - a^2 v^2) t^2$$
Bu son denklemi,
$$x^2 + y^2 + z^2 = c^2 t^2$$
ile kıyasladığımızda,
$$ a^2 - c^2 d^2 = 1$$
$$ v a^2 + c^2 f d = 0$$
$$ c^2 f^2 - a^2 v^2 = c^2 $$
Son üç denklemin ilk ikisinde
$$ d^2 = \dfrac{1 }{c^2} (a^2 - 1) $$
$$ d = - \dfrac{v a^2}{c^2 f} $$
$$ d^2 = \dfrac{v^2 a^4}{c^4 f^2} $$
$d$ yi eleyerek,
$$ \dfrac{v^2 a^4}{c^4 f^2} = \dfrac{1 }{c^2} (a^2 - 1) $$
$$ \dfrac{v^2 a^4}{c^2 f^2} = a^2 - 1 $$
$$ c^2 f^2 = a^2 v^2 + c^2 $$
şeklinde yazıp son denklemde yerine yazalım.
$$ \dfrac{v^2 a^4}{a^2 v^2 + c^2} = a^2 - 1 $$
$$ a^2 c^2 + a^4 v^2 - c^2 - a^2 v^2 = v^2 a^4 $$
$$ a^2 c^2 - c^2 - a^2 v^2 = 0 $$
$$ a = \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
olur. Bu sonucu,
$$ c^2 f^2 = a^2 v^2 + c^2 $$
ye yerleştirdiğimizde,
$$ c^2 f^2 = \dfrac{c^2}{c^2 - v^2} v^2 + c^2 $$
$$ f^2 = \dfrac{c^2}{c^2 - v^2} = a^2 $$
olur ve $f$ yi pozitif seçersek,
$a=f$ olur. $d$ için de bulduklarımızı
$$ v a^2 + c^2 f d = 0$$
ye yerleştirirsek,
$$ d = - \dfrac{v}{c^2} \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}} $$
Böyle Lorentz Dönüşümleri,
$$ x' = \dfrac{x - vt}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}} $$
$$ t' = \dfrac{-\dfrac{v}{c^2}x + t}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}} $$
$$\beta \equiv \dfrac{v}{c} $$
$$ \gamma \equiv \dfrac{1}{{\sqrt{1- \dfrac{v^2}{c^2}}}} $$
tanımlarıyla Lorentz Dönüşümleri,
$$ x' = \gamma (x - vt)$$
$$ y' = y $$
$$ z' = z $$
$$ t' = \gamma (-\dfrac{\beta}{c}x +t)$$
olur.
Benzer şekilde bu dönüşümlerin ters Lorentz Dönüşümleri de
$$ x = \gamma (x' + vt)$$
$$ y = y' $$
$$ z = z' $$
$$ t = \gamma (\dfrac{\beta}{c}x' +t')$$
şeklinde olur.
Kaynakça
Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Chapter12
Landau, Classical Field, Chapter 1