$R^3 $ vektör uzayı üzerinde vektörel çarpımın bir Lie parantezi olduğunuz gösteriniz.

Question

$R^3 $ vektör uzayı üzerinde vektörel çarpımın bir Lie parantezi(çarpımı) olduğunuz gösteriniz.

Tanim:

$V$ bir vektör uzayı  

$[, ] : V \times V \rightarrow V$

1) Antisimetrik $[X, Y ] = -[Y , X]$

2) $[, ]$ iki lineer, yani $\lambda\in\mathbb{R}$ ve $X,Y,Z \in V$ olmak uzere

$i)$ $[\lambda X,Y]=\lambda[X,Y]$

$ii)$ $[X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z]$  ve $[Z,X+Y]=[Z,X]+[Z,Y]$ 

 

3) Jakobi özdeşliği  $[X, [Y , Z]] + [Y , [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0$

şartlarını sağlayan $ [, ]$ operatörüne Lie parantez operatör denir.

$(V, [, ])$ ikilisine ise Lie cebiri denir.

Çözüm olarak Ortogonal grupların matrisi (K) nın Lie cebirinden difbilir olduklarını kabul edip çarpım kuralları uygulanacağını düşünüyorum emin olmamakla birlikte.

Comments

Lie çarpımı tanımını biliyor musun?

---

$\gamma : (\varepsilon,\varepsilon)$

$0=\frac{d}{dt}(\gamma(t) \gamma(t)^{-1})$ olduğunu düşünüyorum

---

O değil. Lie çarpımı tanımı tamamen cebirseldir.

---

V bir vektör uzayı  

[, ] : V x V \rightarrow V

1) Antisimetrik [X, Y ] = [Y , X]

2) [, ] iki lineer

3) Jakobi özdeşliği  [X, [Y , Z]] + [Y , [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0

şartlarını sağlayan [, ] operatörüne Lie parantez operatör denir.

(V, [, ]) ikilisine ise Lie cebiri denir.

---

afedersiniz, ben bu soru hakkında yazılanları hiç görmedim de hangi ders altında görüyorsunuz

---

Matematik Bölümü okuyorum 4. sınıf Dönüşümler ve Geometriler 2 dersi.

---

O zaman bu özelliklerin sağlanması gerekmez mi?

---

Bu özellikler mi sağlanmalı hocam çünkü bağlantıyı tam net bir şekilde kuramadım

Answer 1

$x=(x_1,x_2,x_3),\;\; y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R^3}$ olmak uzere Lie parantezini soyle tanimlayalim

$\begin{align}[x,y]=x\times y&=\left|
\begin{array}{ccc}
 i & j & k \\
 x_1 & x_2 & x_3 \\
 y_1 & y_2& y_3 \\
\end{array}
\right|\\&=(x_2y_3-x_3y_2)i-(x_1y_3-x_3y_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k\end{align}$

 

$\begin{align}1)\quad[x,y]=x\times y&=\left|
\begin{array}{ccc}
 i & j & k \\
 x_1 & x_2 & x_3 \\
 y_1 & y_2& y_3 \\
\end{array}
\right|\\&=(x_2y_3-x_3y_2)i-(x_1y_3-x_3y_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k\\&=-(y_2x_3-y_3x_2)i+(y_1x_3-y_3x_1)j-(y_1x_2-y_2x_1)k\\&=-[(y_2x_3-y_3x_2)i-(y_1x_3-y_3x_1)j+(y_1x_2-y_2x_1)k]\\=&-[y,x]\end{align}$

$\implies [x,y]$ antisimetriktir

 
$2) \begin{align}\quad&[\lambda x,y]=(\lambda x)\times y=\lambda(x\times y)=\lambda[x,y]\\& [x+y,z]=(x+y)\times z=x\times z+y\times z=[x,z]+[y,z]\\& [z,x+y]=z\times (x+y)=z\times x+z\times y=[z,x+[z,y]\end{align}$

$\implies [x,y]$ iki lineerdir.

$3) \begin{align}\quad&[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]\\&=x\times(y \times z)+y\times(z \times x)+z\times(x \times y)\overset{?}=0\end{align}$

 

Oncelikle $x\times (y\times z)=(x\cdot z)y-(x\cdot y)z$  ve  $a\cdot b=b\cdot a$ dir.

 

$ \begin{align}\quad&[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]\\&=x\times(y \times z)+y\times(z \times x)+z\times(x \times y)\\&= (x\cdot z)y-(x\cdot y)z+(y\cdot x)z-(y\cdot z)x+(z\cdot y)x-(z\cdot x)y=0\end{align}$

 

$\implies [x,y]$ Jacobi özdeşliği saglanir.