Kabuk yontemi daha uygun olur bu soru icin. Siyah dikey cizgi silindirin yuksekligini $h(x)$ verir
$V=2\pi\displaystyle\int_0^3r(x)h(x)dx=2\pi\displaystyle\int_0^3(7-x)[f(x)-g(x)]dx=2\pi\displaystyle\int_0^3(7-x)[(4x-x^2)-(x)]dx$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biraz ugrastirmakla beraber Disk yontemiyle de cozleim.
Donme ekseni $y$ eksenine paralel oldugundan, integralimiz $y$ ye bagli olacak ve sinirlar $y$ ekseni uzereinde alinacak. $R(y)$ donme eksenine en uzak dis yaricapi ve $r(y)$ ic yaricapi gostersin. Integral 0 dan 4'e degisirken tarali alan farkli fonksiyonlarin arasinda kaldigindan integrali iki kisma ayirmamiz gerekli.
Oncelikle fonksiynlarimiz $y$'ye bagli yazalim.
$y=x\implies x=y$
$y=4x-x^2\implies x=2-\sqrt{4-y} $ (grafikteki kirmizi fonksiyon) ve $x=2+\sqrt{4-y} $ (grafikteki mavi fonksiyon)
$V=\pi\displaystyle\int_c^d\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy$ dir.
$V=\pi\displaystyle\int_1^3\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy+\pi\int_3^4\Big[ [R(y)]^2-[r(y)]^2\Big]dy$
$=\pi\displaystyle\int_1^3\left[\left(7-(2-\sqrt{4-y})\right)^2-(7-y)^2\right]dy\\\quad+\pi\displaystyle\int_3^4\left[\left(7-(2-\sqrt{4-y})\right)^2-\left(7-(2+\sqrt{4-y})\right)^2\right]dy$
$=\pi\displaystyle\int_1^3\left[\left(5+\sqrt{4-y}\right)^2-(7-y)^2\right]dy\\\quad+\pi\displaystyle\int_3^4\left[\left(5+\sqrt{4-y}\right)^2-\left(5-\sqrt{4-y}\right)^2\right]dy$