Çarpımsal grupları sonlu üretilmiş olan tüm $F$ cisimlerini belirleyin.

Question

çarpımsal grup: multiplicative group, sonlu üretilmiş: finitely generated.

Answer 1

$F$, carpimsal grubu sonlu uretecli olacan bir cisim olsun. Her abelyen grup bir $\mathbb{Z}$ moduludur. Bu nedenle her cismin carpimsal grubu bir $\mathbb{Z}$ moduludur: $$\mathbb{Z}\times F^{\times}\longrightarrow F^{\times}$$ $$(n,x)\longmapsto x^n$$

Yardimci teorem: Tek carpanlama bolgesi uzerine sonlu uretecli bir modulun altmodulleri de sonludur. 

Ispat: Bkz. Lang'in Algebra kitabi.

Iddia: $F$ cisminin karakteri sifir olamaz.

Kanit: Eger sifir olsaydi $\mathbb{Q}$ cismi $F$ cisminin altcismi olurdu. Yardimci teorem geregi $\mathbb{Q}-\{0\}$ sonlu uretecli bir $\mathbb{Z}$ modul olmalidir. Ama bu $\mathbb{Q}-\{0\}$ carpimsal grubunun sonlu uretecli olmasi demektir ki, bunun dogru olmadigini biliyoruz. O halde $F$ cisminin karakteri sifir olamaz.

Yardimci teorem: Sonlu uretecli degismeli bir grup $$\mathbb{Z}^n\oplus \Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$$ bicimindedir.

Ispat: Ayni kaynak.

$F^{\times}$ ile $\mathbb{Z}^n\oplus \Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$ arasinda kurulan izomorfizmada $\Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$ grubunun ongoruntusu sonlu oldugu icin dongusel olmak zorundadir. O halde $F^{\times}$ carpimsal grubunun $$\mathbb{Z}^n\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$$ formatinda oldugunu bulduk. $F^{\times}$ icinde $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ kismina denk gelen elemanlar, mertebesi sonlu olan elemanlar. Bu elemanlarin olusuturdugu kumeye $0$ elemanini eklersek sonlu bir cisim elde ederiz. (not: iki elemanin toplaminin da burada oldugunu gostermek icin karakteristigin $p$ oldugunu kullanmak gerekir). Simdi elimizde $F$ cisminin icince kalan ve carpimsal grubu $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ olan bir $K$ sonlu cismi var. Demek ki $F$ cismimiz $K$ cismimizin genislemesi. Simdi $a\in F^{\times}$ mertebesi sonlu olmayan bir eleman olsun. Bu durumda bu $a$ elemani $K$ uzerine cebirsel olamaz. Cunku cebirsel olsaydi, $K(a)$ sonlu bir cisim olurdu ve $a$ elemaninin derecesi sonlu olurdu. O halde $a$ elemani $K$ uzerine askin. Yani $K(a)$ cismi $K(X)$ fonksiyon cismine izomorf olmak zorunda.

Iddia: $K(X)^{\times}$ sonlu uretecli degildir. Diyelim ki $$\frac{f_1(X)}{g_1(X)},\cdots,\frac{f_r(X)}{g_r(X)}\subseteq K(X)^{\times}$$ uretec bir kume olsun. $K$ uzerine sonsuz coklukta indirgenemez polinom oldugu icin, hicbir $f_i$ ya da $g_i$nin boleni olmayan indirgenemez bir $h(X)$ polinomu vardir. Acik ki boyle bir eleman $\frac{f_i}{g_i}$lerin carpimi olamaz. O halde $n=0$ olmak zorundadir.

Sonuc: $F$ sonlu bir cisimdir.

Comments

http://en.wikipedia.org/wiki/Mazur%27s_torsion_theorem

Bu ikinci yardimci teoremden sonra neden sag taraf dongusel olmak zorunda, aciklayabilir misin vakit bulabilirsen? Bir de aklima linkteki teorem geldi, onu da paylasmak istedim.

(Soruyu ogrenmek amacli soruyorum.)

---

Cunku sag tarafin $F^{\times}$ icindeki goruntusu sonlu bir altgrup. Bir cismin carpimsal grubunun sonlu altgrubu da dongusel olmak zorunda. O halde sag taraf dongusel olmak zorunda. Kullandigim savin ispati da soyle:

Oncelikle sonlu altgrup abelyen oldugu icin $$Z=\bigoplus_{i=1}^k\big(\bigoplus_{j=1}^{k_i} \mathbb{Z}/p^{n_{ij}}_i\mathbb{Z}\big)$$ bicmindedir. Burada $p_i$ler asal ve indeksleri farkliysa farklilar, $n_j>0$. Eger $k_i$ tamsayilarindan en az birisi birden buyukse $Z$ dongusel olamaz ve her $k_i=1$ ise $Z$ donguseldir. O halde, diyelim ki $k_1>1$ olsun. Bu durumda $$\bigoplus_{j=1}^{k_1} \mathbb{Z}/p^{n_{1j}}_1\mathbb{Z}$$ Grubunun eleman sayisi $p_1^{\sum n_{1j}}(\gneq p^{\max{n_{1i}}})$ olur. Ama acik ki $Z$ grubunun elemanlarinin $p^{\max{n_{1i}}}$inci gucleri etkisiz eleman. Yani $Z$nin elemanlarina $F^{\times}$ icinde gelen elamanlar $$f(X)=X^{p^{\max{n_{1i}}}}-1$$ polinomunun koku. Bundan sonrasi polinomun derecesinden fazla koku olmaz bilgisinden cikar, cunku $Z$'nin $f(X)$'in derecesinden fazla elemani var. Celiski. 

---

ikinci cumle yetti. Tesekkur ederim.

---

Ulen bosu bosuna yazdik desene:)

---

Hatta biraz once, ikinci cumleyi soru olarak yazayim mi diye aklimdan geciyordu :) iste aklin bize oynadigi oyunlar :) o degilde, sonrasini okumamistim ama okuyacam, bosa gitmesin :)

Answer 2

Bir önceki kanıtın aynısı ama sanırım biraz daha kısa. Sav: Sadece sonlu cisimler bu özelliğe sahiptirler.

$F$'nin altcisimlerinin de aynı özelliği vardır. Çünkü sonlu eleman tarafından üretilmiş bir abel grubunun altgrupları da sonlu eleman tarafından üretilmiştir. (Referans: Herhangi bir cebir kitabı ya da https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/cebir.pdf, sayfa 218, Sonuç 13.12.) Buradan cismin karakteristiğinin 0 olamayacağı çıkar, çünkü (sonsuz sayıda asalın varlığından dolayı) $\mathbb{Q}^*$ sonlu üreteçli değildir. Cismin karakteristiğine $p$ diyelim.

$F^*$ grubunun burulmalı elemanları (ki bunlardan sonlu sayıda var) $\mathbb{F}_p$ üzerine cebirsel olduklarından, bu elemanların kümesine 0 eklersek, bir altcisim buluruz: $\mathbb{F}_p$'nin $F$'deki cebirsel kapanışı. Bu cisim sonludur. Diyelim $\mathbb{F}_q$. Eğer varsa, bir $x\in F \setminus \mathbb{F}_q$ alalım. $\mathbb{F}_q(x)$ altcisminin de aynı özelliği olması lazım. Ama $x$, $\mathbb{F}_q$ üzerine aşkın olduğundan, $\mathbb{F}_q(x) \simeq \mathbb{F}_q(T)$. (Polinom bölü polinomlardan oluşan cisim.) Ama aynen $\mathbb{Q}$ için olduğu gibi ($\mathbb{F}_q[T]$'de çok fazla asal) $\mathbb{F}_q(T)^*$ sonlu eleman tarafından üretilemez. Çelişki. Demek ki $F = \mathbb{F}_q$.