Question

$\left\{ 1,2,3,\ldots ,98,99\right\}$  kümesinden $50$ tane sayı seçiyoruz, öyle ki bu $50$ sayıdan oluşturulabilecek hiçbir ikilinin toplamı $99$ ya da $100$ etmiyor. Bu seçtiğimiz sayıların $50,51,52,...,99$ sayıları olmak zorunda olduğunu kanıtlayınız.

Answer 1

Bu sayıların şu sıralamasına bakalım:

$$ 99,1,98,2,97,3,...,51,49,50 $$

Bu dizideki komşu herhangi iki sayının toplamı $99$ ya da $100$ olur, yani komşu iki sayıdan sadece bir tanesi seçilmiş olabilir. Bu durumda, bu dizideki $50$ haricindeki sayılardan en fazla $49$ tanesi seçilmiş olabilir. Geriye sadece $50$ sayısı kaldığından tam $49$ tanesi seçilmiş olmalı ve $50$ sayısı bunlara eklenmelidir. Listeden bir sayı seçtiğimizde diğer seçim için iki adım atmamız gerekir. Dolayısıyla seçtiğimiz sayılar gerçekten de $50,51,52,...,99$ olmak durumundadır.

Comments

50 yi seçtiğiimz için 49 u seçemeyiz.

"Öyleyse 51 i seçmiş olmalıyız"

daha sonra 2 şer geri giderek, 53,55, ...

şeklinde seçmiş olmalıyız.

daha açıklaycı olabilir..