p bir asal sayı olmak üzere mertebesi |G| = p^2 olan bir grup olsun. Bu durumda -G- bir devirli gruptur ya da her G∈g için g^p =edir, gösteriniz.

Question

G nin değişmeli olacağını düşünüyorum.Ama ispatı yapamıyorum.

Comments

Bu her soyut cebir kitabında ispat bulunan ya da ipucu verilerek sorulan bir problemdir.

---

Başlıktaki ifade daha basit yollarla gösterilebilir.

Sana sorum şu: değişmeli olunca başlıktaki soruya nasıl cevap verirsin?

---

Değişmeli olduğunu biliyorum sadece, ama devirli olduğunu göstermek için yeterli değil. Değişmeli olup devirli olmayan örnekler var çünkü. Nasıl gösyereceğimi bilmiyorum açıkcası .

---

Elimdeki kaynaklarda taradım ama denk gelemedim, o yüzden soruyorum

---

soruda grubun devirli olduğunu gösterilmesi isteMİyor.

Devirlidir veya ....

olduğunu göstermeni istiyor.

---

Nereden başlayacağımı bilmiyorum, yardımcı olursanız sevinirim

---

$G$ devirli olmasın diye başlayıp,

$\forall g\in G$ için  $g^p=e$ olduğunu göstermeye denyebilirsin.

Answer 1

Cauchy'den Z(G) 1 değil. |Z(G)|=p,p^2 olmalı. İkinci şıksa grup abel. Birinci şıksa G/Z(G) modülo p sayılar grubuna izomorf. Yani modülo p sayılar ve Z(G) G'yi üretiyor.(Neden?) Modülo p sayılar da Z(G)'de abel.Buradan G abel çıkar.

Comments

<Z(G)>=G olduğunu nasıl anladın

---

Sanırım $<Z(G)>=G$ iddia edilmiyor.

$<Z(G),P>=G$ iddia ediliyor ($P$: mertebesi $p$ olan elemanlar (cevapta "sayılar" denmiş))

---

$G/Z(G)$'nin mertebesi $p$ olduğundan G abel diyebiliriz.

$<Z(G),P>=G$ olduğunu nasıl gösterebiliriz?

---

$x\in G$ olsun.

$(xZ(G))^p=x^pZ(G)=Z(G)$ oluşundan başlayabilirsin.