Cemberler ve Rotasyonel Simetri

Question

Cemberi (Kureyi) hangi yonde ne kadar dondurursem dondureyim, cember (kure) gene cember (kure) kaliyor. Bu diger boyutlar icin de gecerli mi ? Peki $R^n$ icin bu ozelligi saglayan baska geometrik objeler var mi ?

Answer 1

(Aşikar olarak) $\mathbb{R}^n$ (tüm $n$ boyutlu uzay) ve tek nokta dışında

sadece, o uzaydaki, herhangi bir ($r>0$) pozitif yarıçaplı (hiper)küre $\mathbb{S}_r^{n-1}$ bu özelliktedir.

Nedeni şu:

Bir noktayı sabit bırakan (uzaklık koruyan) hareketler $O(n)$ grubunu oluşturur ve onun alt grubu olan, $SO(n)$ grubu, ($n>1$ iken) bir düzlemdeki dönmeler tarafından üretilir. (Bu, biraz ileri lineer cebir ile gösterilebilir)

$SO(n)$ grubu, orijinden farklı herhangi bir noktayı, o noktanın orijine (:sabit kalan nokta) uzaklığı yarıçaplı,  küre üzerinde herhangi bir noktaya dönüştürebilir.

(Kısaca: $SO(n)$ grubu, o küre üzerinde geçişmeli (transitive) olarak etki eder)