$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$(X,\tau), \text{ regüler}\Rightarrow \delta O(X)=\tau$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani regüler uzaylarda $\delta$-açık kümeler (regüler açık kümelerin birleşimi şeklinde yazılabilen kümeler) ile açık kümelerin çakıştığını gösteriniz.
Tanım: $(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A, \text{regüler açık}:\Leftrightarrow A=int(cl(A))$$

$$RO(X):=\{A\subseteq X|A, \text{ regüler açık}\}$$

$$\delta\text{-int}(A):=\bigcup\{U| (U\subseteq A)(U\in RO(X))\}$$

$$A, \delta\text{-açık}:\Leftrightarrow A=\delta\text{-}int (A)$$

$\delta O(X):=\{A\subseteq X|A, \delta \text{-açık}\}$

Düzeltme: Sorunun ilk hali şöyleydi:

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$(X,\tau), \text{ regüler}\Rightarrow RO(X)=\tau$$ olduğunu gösteriniz. Bu doğru değil. Bunu atlamışım. Mesela $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayı regüler bir uzay olması karşın bu uzaydaki regüler açıklar ile açıklar çakışmaz. Örneğin $(0,1)\cup (1,2)$ kümesi bu uzayda açık bir küme olmasına karşın regüler açık değildir.

 

Comments

kapanışının içi kendisine eşit olmak ile, içinin kendisine eşit olmanın ne farkı var bunun olmadıgı hangı uzaylar var

---

$X=\mathbb{R},\ \tau=\{(-\infty,a):a\in\mathbb{R}\}\cup\{\emptyset,\mathbb{R}\}$ olsun.

$U=(-\infty,0)$ açık kümedir, $\overline{U}=cl_X(U)=\mathbb{R}$ dir.  $\textrm{Int}\,\overline{U}=\mathbb{R}$  ($\textrm{Int}\,(A)=\,A$ nın içi) ve  $\mathbb{R}\neq U$ dir.