Her $T_1$ uzayının bir $T_{1/2}$ uzayı olduğunu gösteriniz.

Question

Not: $(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(X,\tau), \ T_{1/2} \text{ uzayı}:\Leftrightarrow (\forall A\subseteq X)(D(A)\in C(X,\tau)).$$
Yani bir topolojik uzayın $T_{1/2}$ uzayı olması demek uzayın her altkümesinin türev kümesinin kapalı olması şeklinde tanımlanıyor.

$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

$C(X,\tau):=\{F|(F\subseteq X)(F^c\in \tau\}$

Answer 1

$(X,\tau), \ T_1 \text{ uzayı}\overset{?}{\Rightarrow} (\forall A\subseteq X)(D(A)\in C(X,\tau))\Rightarrow (X,\tau), \ T_{1/2} \text{ uzayı}.$

Not: "?" işaretinin gerekçesi aşağıdaki linkte mevcut.