Soyle bir denemem oldu
Bir iliskiye onsiralama diyoruz eger gecisken (transitive) ve refleksif ise.
$(X,\tau)$ bir topolojik uzay olsun. Soyle bir iliski tanimlayacagiz
$x$ in bulundugu her acik kumede $y$ var ise $x\leq y$ diyecegiz.
Bu iliski transitif ve refleksif. Cunku
- $x$ in bulundugu her acik kumede $x$ var yani $x\leq x$
- $x$ in bulundugu her acik kumede $y$ var ise ($x \leq y$ ) ve $y$ nin bulundugu her acik kumede $z$ var ise ($y \leq z$), dogal olarak $x$ in bulundugu her acik kumede $z$ de vardir ($x \leq y \land y \leq z \implies x \leq z$)
[hatta sanirim $f$ sureklidir ancak ve ancak $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$]
Simdi obur yonde gitmek icin sanirim sunu yapmamiz gerekiyor
$(X,\leq)$ bir onsiralama olsun. $B=\{x\in X : \{y \in X : x \leq y\}\}$, ailesinin bir topoloji icin baz oldugunu iddia edicem. Bu su demek
$\bigcup_{x\in B}x =X$ ve $\bigcap_{i=1}^nx_i =\bigcup_{x\in B}x$
kotu yazdim galiba ama demeye calistigim sey $B$ $X$ i coverlayacak (cevreleyecek? kapayacak ? kaplayacak ?) ve $B$ deki her sonlu kesisimi, $B$ den kumelerin birlesimi olarak ifade edebilecegiz.
$B$ deki tum kumelerin birlesimlerinin, $X$e esit oldugunu, $\leq$ in refleksif olmasindan anlayabiliriz. $x \leq x$ oldugu icin $X$ teki herhangi bir eleman $e$, $B$ deki bir elemanin elemani olmali.
Sanirim $\leq$ in transitif olmasi bir sekilde $B$ deki sonlu kesisimler kismina denk gelecek ama henuz kafamda sekillendiremedim.
Daha sonra sanirim bu iki transformasyonu arka arkaya uyguladigimda elmie gecen topolojinin/preorderin orjinaline homeomorf/monoton olmasini gostermem gerekiyor? bu son adimdan cok emin degilim. Belki sadece ilk ikisi de yeterdi