simetrik bir matrise $M \in \mathbb{R}^{n\times n}$ (semi)-pozitif definit denir ancak ve ancak (sifirdan farkli) butun $x \in \mathbb{R}^n$ ler icin $ x^{T}Mx \geq 0 $ saglaniyorsa.
farkettim ki simetrik olmasa da bu ozelligi saglayan matrisler var.
$ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
Pozitif definitlik neden sadece simetrik matrislerle sinirlandirilmis?
Tahminimce bunun ic carpimla bir alakasi var. Sanki her semi-pozitif definit matrisin bir ic carpim tanimlamasini istiyoruz .Her pozitif definit matrisin bir ic carpim tanimlayabilmesi icin pozitif definit matrislerin simetrik olmasi gerekiyor ($\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle$ sartinin saglanmasi icin).
Peki pozitif definitlik tanimindan simetrikligi cikartsak ne olur?
Bu yeni tanima $^*\text{-pozitif definit}$ desek acaba su cumle dogru olur mu?
Her $^*\text{-pozitif definit}$ matris $M$ icin, $\| x \|_M = \sqrt(x^{T}Mx ) $ bir norm tanimlar.