Ortalikta bir suru cebirsel geometrici var, onlardan ses cikmiyor, bari ben deneyeyim. En azindan bana itiraz etmek icin ses cikartilar. Uzunca bir yanıt oldu. Ama demet tanımına bakıp bu da ne böyle, demetleştirme neden böyle diyerek formalizmden birazcık kurtulmak isteyecek gençler için yardımcı olacağını düşünüyorum.
Önce bilindik demet orneklerine bakalim:
1- Herhangi bir $X$ uzayi icin, $U\longmapsto C(U,\mathbb{R})$
2- Yukaridaki ornekte $\mathbb{R}$ herhangi bir abelyen $A$ grubuyla degistirilebilir. Bu durumda $A$ uzerinde ayrik topoloji oldugunu varsayiyoruz.
3- $k$ cismi uzerine bir $X$ afin varyetesi icin, $U\longmapsto k(U)$.
Goruldugu uzere hepsinde su ilke gecerli: $X$ topolojik uzayi uzerinde tanimlanan bir $\mathcal{F}$ demeti esasen $X$ topolojik uzayinin acik kumelerinden bir yerlere giden bazi fonksiyonlardan olusuyor. Benim dusunceme göre de, demetelestirmek demek, bir tane ondemet verildiginde, o ondemetin elemanlarini (sectionlarını) da fonksiyonlarımsı gibi gormek ve onlardan elde edilebilecek fonksiyonların tamamını elde etmek demek. Daha güzel ifade edeyim. $\mathcal{F}$ bir $X$ uzayı üzerinde tanımlı bir öndemet olsun ve $V\subseteq U$ açık kümeleri için kısıt homomorfizmamızı $\rho^U_V$ ile gösterelim. Bu durumda $\mathcal{F}(U)$'nun elemanlarında doğal biçimde fonksiyonlar türetebiliriz ve bu türetme sonunda kısıt fonksiyonlarıda fonksiyonların kısıtlaması olur.
Demet ve öndemetleri topolojik uzaylar üzerinde tanımlıyoruz. Topolojik uzaylar da aslında lokal olarak anlaşılan yapılar. Bu yüzden doğal olarak beklentimiz demetimizin genel davranışının yerel davranışlarından anlaşılması. Bunu yukarıdaki ilk örneğimizde aşağıdaki soruları yanıtlayarak inceleyelim, ya da yerel davranışlardan anlaşılabilir olmakla ne demek istediğimi açıklamaya çalışayım. (yanıtlar diğer örnekler için de aynı olacak kuşkusuz)
Soru 1- Elimizde $U\subseteq X$ açık kümesi ve $\{U_i\}_{i\in I}$ de $U$'nun açık bir örtüsü olsun. Şimdi şu doğru mudur? $f,g$ sürekli fonksiyonlari $U$ üzerinde tanımlı $\mathbb{R}$'ye giden ve bütün $U_i$ altkümelerine kısıtlanması eşitse bu iki fonksiyon aynı fonksiyonlar mudur?
Yanıt: Elbette (Çünkü fonksiyonların eşit olması da yerel bir özellik.)
Soru 2- Şimdi diyelim ki elimzde $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sürekli $f_i$ fonksiyonları olsun. Ve bu fonksiyonların şöyle bir uyumluluk şartını sağladığını varsayalım: $U_i$ ile $U_j$ kesişiyorsa $f_i$ ile $f_j$ kesişimde aynı olsun. Soru şu: $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden $U_i$'ye kısıtlaması $f_i$ olan sürekli bir $f$ fonksiyonu var mıdır?
Yanıt: Elbette (Çünkü sürekli fonksiyon olmak yerel bir özellik.)
Demek ki en azından örneklerimiz için yapılan tanımlar "topolojiyi göz önünde bulunduran" tanımlarmış. Yani demeti anlamak için yerel bilgiyi anlamak yeterliymiş, tıpkı bir topolojiyi anlamak için yerel bilgiyi anlamanın yetmesi gibi.
Anımsatma: Soru bir ve ikide sorgulanan şartları demetler dilinde ifade edecek olursak şöyle olur:
1- $\{U_i\}$ ailesi $U$ açık kümesinin bir açık örtüsü ve $s,t\in\mathcal{F}(U)$ olsun. Eğer her $i$ için$\rho^U_{U_i}(s)=\rho^U_{U_i}(t)$ ise $s=t$ midir?
2- $\{U_i\}$ ailesi $U$ açık kümesinin bir açık örtüsü ve $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$ aşağıdaki şartı sağlayan elemanlar olsun: $$\rho^{U_i}_{U_i\cap U_j}(s_i)=\rho^{U_i}_{U_i\cap U_j}(s_j).$$ Bu durumda $\mathcal{F}(U)$ içinde $$\rho^U_{U_i}(s)=s_i$$ şartını sağlayan bir eleman var mıdır?
Demetleştirmeyi anlamak için tabii ki önce demet olmayan bir öndemet örneği vermek gerek. $X=\mathbb{R}$ alalım ve $U\subseteq{R}$ açık kümesi için $\mathcal{F}(U)$'yu $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden sürekli ve sınırlı fonksiyonlar kümesi olarak tanımlayalım. Şimdi bu açık ki bu bir öndemet tanımlıyor. Peki açık $U$ kümesi için bir tanım veren $\mathcal{F}$ topolojiyi gözönünde bulunduruyor mu?
Birinci sorunun yanıtı doğal olarak evet. İkici soruyu bu duruma uygun olarak soralım: Diyelim ki elimzde $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sürekli ve sınırlı $f_i$ fonksiyonları olsun. Ve bu fonksiyonların şöyle bir uyumluluk şartını sağladığını varsayalım: $U_i$ ile $U_j$ kesişiyorsa $f_i$ ile $f_j$ kesişimde aynı olsun. Soru şu: $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden $U_i$'ye kısıtlaması $f_i$ olan sürekli ve sınırlı bir $f$ fonksiyonu var mıdır?
Bu sorunun yanıtı hayır. Bunu şöyle açıklayabiliriz. $\{U_n:=(-n,n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ ailesi, $X=\mathbb{R}$'nin açık bir örtüsüdür ve $x\mapsto x$ fonksiyonu $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sınırlı bir fonksiyon. Ama $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye giden ve $U_i$'lere kısıtlaması birim fonksiyonu veren bir tek fonksiyon var: birim fonksiyon. Gelgelelim ki gelgelelim, bu fonksiyon sürekli osa da sınırlı değil. O halde ikinci sorunun bu öndemet için yanıtı HAYIR.
Soru 3- Yukarıdaki ikinci sorunun yanıtını en son örneğimiz için evet yapmak istiyoruz. Ama halihazırda verilmiş bilgilerden de kurtulmak istemiyoruz. Üstelik, gereksiz bilgi de istemiyoruz. Ne yapmalıyız? Eksik parçaları koymalıyız. Peki genel olarak neler eksik? Yerel bilgisi orada olan ama kendisi orada olmayan fonksiyonlar eksik (Mesela $\mathcal{F}(\mathbb{R})$'nin içine birim fonksiyonu eksik). Doğru dürüst söylersek, sınırlı ve sürekli fonksiyonlarla yaklaşılabilen fonksiyonları, başka bir deyişle sürekli fonksiyonları koymalıyız. Şunu ispatladık (buna bir ispat denirse)
Teorem: $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı sınırlı ve sürekli fonksiyonlar öndemetinin demetleştirmesi birinci örnekteki sürekli fonksiyonlar demetidir.
O halde öndemetimizin elemanları fonksiyon olduğu zaman ikinci soruyu nasıl yanıtlayabileceğimizi biliyoruz. O halde öndemetin elemanlarını önce fonksiyonumsu gibi, sonra da fonksiyon gibi görebilme üzerine biraz kafa patlatalım.
Karakter sınırına ulaşmışım. Devamı ikinci cevapta.