Elemanlari $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ den olan ve bir sure sonra $0$ olan diziler uzerine bir norm.

Question

$\mathbb{X}=\{\{a_n\}_{n \in\mathbb{N}}: \quad a_n \in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \quad \land \exists m \in\mathbb{N} \quad\forall k \geq m \quad a_k = 0\}$

(Dogru yazabildim mi bilmiyorum ama kastettigim sey $\mathbb{X}$ kumesi bir diziler kumesi olsun. Dizilerin elemanlari $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ olacak ve diziler belli bir $m$ sayisindan sonra $0$ olacak).

$\mathbb{X}$ in $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ uzerinde bir vektor uzayi oldugunu gostermek zor degil.

Soru 1:

$\| \cdot\| : \mathbb{X} \to \mathbb{N}$

$\|x\| = \sum_{i=0}^mx_i2^i $

fonksiyonu $\mathbb{X}$ uzerinde bir norm mudur?

Soru 2:

Eger Soru 1 dogru ise bu normun olusturdugu metrik nedir ?

Soru 3:

Eger Soru 1 dogru ise $\mathbb{X}$ uzayi tam midir, yani $\mathbb{X}$ Banach uzayi midir ?

Soru 4:

Eger Soru 1 dogru ise, $(\mathbb{X},\langle \cdot,\cdot\rangle)$ uzayini ic-carpim uzayi yapan bir $\langle \cdot,\cdot \rangle$ var midir ?

Soru 4:

$\mathbb{N}$  uzerindeki toplama ve ve carpma, $\mathbb{X}$ uzerinde surekli midir? peki Lineer midir ?

 

Comments

1) Norm ne demek? Burada ne kastettiğimiz biraz daha açar mısın? Aynı şekilde iç çarpım derken ne kastediyorsun? (Bu $\mathbb Z/ 2 \mathbb Z $ üzerine bir vektör uzayı)

2) Daha önce uzaklık ile ilgili sorduğun soruda vektörlerden bir tanesini $0$ alırsan bu "norm"u veriyor.

3) Iki vektör arası her zaman bir doğal sayı iken Cauchy dizilerinden nasıl bahsedebiliriz? Bir Cauchy dizisi örneği verebilir misin?

---

$\mathbb{F}$ bir cisim olsun, bunun uzerine $V$ vektor uzayini kuralim. vektor uzayi $V$ uzerinde, norm $\rho : V \to \mathbb{R}$ su sartlari saglamali.

(1) $\rho(u+v) \leq \rho(u) + \rho(v)$,

(2) $\rho(\alpha v) = |\alpha| \rho(v)$,

(3) $\rho(v) = 0 \iff v = 0$.

 

(1) ozelligin saglandigini gormek zor degil (sonucta solda eldesiz toplama var (vektor uzayi toplamasi) ) sagda da eldeli toplama (reel sayilardaki toplama). (3) te kolay.

(2) ozellikten cok emin degilim. Temel sorunum mutlak deger. Muhendis gibi mutlak deger yokmus gibi davranip, $\alpha$ nin $0$ yada $1$ olabilecegini dusunup gene de sagliyor olabilir gibi dusundum. (Cumle ne kadar dusuk oldu. Kisaca dedim ki ya zaten $\alpha$ iki deger aliyor, ikisi de pozitif ve her ikisi icin de yukarida verilen sarti sagliyor o zaman sallamayalim su mutlak degeri burada ama iste bunu diyebilir miyim cok emin degilim)

Ic carpim cok kafami karistiriyo acikcasi. Pozitif definit, ikinci argumanda linearite ve hermityen simetri ozelliklerini saglayan $\langle \cdot,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}$ fonksiyonuna ic carpim diyoruz.

Goruntu kumemizin $\mathbb{F}$ olmasi pek hosuma gitmiyor. Soruyu ilk sordugumda goruntu kumesinin $\mathbb{R}$ oldugunu dusunuyordum ve bir sekilde cauchy dizi carpimi ile azicik oynayip cikan diziyi dogal sayi gibi gorup ic carpim tanimlamak istiyordum. (Kisacasi dogal sayilar uzerindeki carpmayi bu uzaydaki ic carpim gibi kullanmak istedim ama olmuyor maalesef)  Sonra arkadasimin da yardimi ile farkettim ki bu dogru degil. $\mathbb{C}$ uzerinde kurulan bir vektor uzayinda ic carpim gayet komplex olabiliyor. Acaba sonlu cisimler uzerine kurulan vektor uzaylarinda ic carpim tanimi yok mu?
 
Acikcasi sonlu cisimler uzerine kurulan vektor uzaylarinda norm ve ic carpim gormedim hic. Oklid uzayindan tanidigimiz ve sevdigimiz arkadaslar pek calismiyor bu uzaylarda. $l_2$ normunu buraya tasimaya calissak mesela tum girdileri $1$ olan vektorun uzunlugu $0$ cikacak. Merakim da biraz o yuzden

Verdigim yapinin bir norm oldugunu dusunuyorum. (su ufak mutlak deger meselesini aydinlatabilirsem)

Neden cauchy dizilerinden bahsedemeyelim pek anlamadim. Tamam iki vektor arasi uzaklik her zaman bir dogal sayi ama bu bir dizinin cauchy olmasini neden engellesin ki ?. Su tarz dizilere Cauchy diyoruz sanirim.

$\forall \epsilon > 0  \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall m,n>N : d(x_m,x_n)<\epsilon$

yada hadi biraz daha geometrik olalim. Bir dizi Cauchydir eger her $0$ dan buyuk $\epsilon$ icin bir $a$ noktasi ve $N$ indisi vardir ki $x_N$ den sonraki butun dizi elemanlari $B_{\epsilon}(a)$ icindedir.

$a_n = 1$ mesela bir cauchy dizisi degil mi? (biraz hile yaptim tamam).

Bu uzaydaki cauchy dizileri sanirim belli bir terimden sonra tum terimleri sabit olan diziler (cunku iki vektorun arasindaki uzaklik hep bir dogal sayi ve $0$ dan buyuk en kucuk bir dogal sayi var ). E boyle dusununce tum Cauchy dizileri yakinsiyor sanki o yuzden uzayin bir Banach uzayi oldugunu dusunuyorum.

$\mathbb{N}$ uzerindeki $+$ ve $\cdot$  bu uzayda lineer degil diye dusunuyorum. Dogal sayilar uzerindeki carpmanin bir sekilde ic carpima denk gelecegini umuyordum ama o zamanlar ic carpimin goruntu kumesinin hep $\mathbb{R}$ oldugunu dusunuyordum (baktim yanilmisim).

 

Eger gercekten Banach uzayi ise, bu uzayda calculus yapmak nasil gorunuyor merak ediyorum.

---

Uzayın elemanları diziler. Diziler dizisinin Cauchy olmasından bahsetmen lazım.

---

bu uzaydaki dizileri birebir dogal sayilarla esleyebildigimiz icin $a_n = 1$ ornegini vermistim. Kastettigim $a_n = (1,0,\cdots)$ dizisi idi. mesela $a_1 =(1,\cdots)  $ ile a_2(1,\cdots) arasindaki uzaklik ($xor$ metriginde) hep sifir.

Baska bir cauchy dizisi ornegi su olabilirdi. $bits : \mathbb{N} \to \mathbb{X}$ olsun ve bir dogal sayinin 2li tabanda yazimi olsun

$a_1 = x \in \mathbb{X}$,

$a_{n+1} = bits(\lfloor\frac{\|a_n\|}{2}\rfloor+1)$

bu son dizi mesela $(0,1,\cdots)$ a yakinsiyor.

Cauchy olmanin sarti her $\epsilon>0$ icin bir noktadan sonra $d(x_m,x_n) < \epsilon$ olmasi. $\epsilon$ simdilik $0$ ila $1$ arasinda olsun . Soyle bir durum var ki iki dizi($\mathbb(X)$ in elemanlari) arasinda $xor$(metrigimiz yani) her zaman dogal sayi dondurecek ve $\epsilon$ dan kucuk tek dogal sayi $0$.Yani $d(x_m,x_n) = 0$ $\epsilon$ un $0$ ila $1$ arasinda bir yerde olmasi demek $x_m = x_n$ demek degil mi ? Bu da cauchy dizileri yakinsar demek degil mi ?