Grup teori hakkında kısa soru

Question

Grupları sınıflandırma üzerine çalışıyorum.Kısaca yaptıklarımı ve sorumu yazıcam.

elimde şunlar var , G abel olmayan bir grup,$\left| G\right| =27$ ve $\left| Z\left( G\right) \right| =3$, $G/Z(G)$ nin cyclic olmasını istemiyorum ve $Z(G)=G'$(kamütator altgrup)

şimdi , öyle bir $a,b\in G $ seçiyorumki $aZ(G) , bZ(G)$ $G/Z(G)$'yi üretiyor.

O halde $[a,b]\neq 1$.Sorum bu.Neden eşit değil ? Eğer eşit olsaydı $ab=ba$ oluyor bunu biliyorum.Bir çelişki elde etmeliyim ama ne göremiyorum

Comments

soruya ek , $G/Z\left( G\right) \cong \mathbb{Z} _{3}\times \mathbb{Z} _{3}$ o yüzden iki tane üreteç seçebiliyorum

---

1. (Yorumda) $G/Z(G)\cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3$
2. (Soruda) $a,b\in G$ 

demek istediniz herhalde.

Bir de $Z(G),\ G$ nin merkezini ($Z(G)=G'$ yazdınız) gösterMİyor değil mi?

---

Hocam 1 ve 2.sırada yazdıklarınızın hepsi doğru onları şimdi düzenliyorum.

$Z(G)$ burada Gnin merkezi(center of G)

$Z(G)=G'$ olmasının sebebi komütatörün özelliğinden geliyor onuda eklerim ( şu teoremden N, Gnin normal altgrubu eğer G/N abelyan ise $G'$, N'nin altgrubudur.

---

hocam soru için düşünüyorum ama eğer [a, b] = 1 olursa G/Z(G) cyclic oluyor bunun nedenini göremiyorum bulamıyorum

---

$[a,b]=1$ ise $G$ abelyen olmaz mı?

---

her a,b için geçerli olsa abelyan olurdu

---

öyle bir a,b seçiyorum ki aZ(G), bZ(G) üreteç oluyor

---

Bence $a,b$ ve $Z(G)$ ($G/Z(G),\ aZ(G)$ ve $bZ(G)$ tarafından üretildiği için) tüm $G$ yi üretir. hepsi birbiri ile değişmeli.

---

hocam onların üretildiklerini nasıl anladın ben neyi kaçırıyorum