$G$ sonlu grup ve $H \trianglelefteq G$. Eğer $G/H$'de mertebesi $n$ olan bir eleman varsa $G$'de de vardır.

Question

Problem: $G$ sonlu grup ve $H \trianglelefteq G$. Eğer $G/H$'de mertebesi $n$ olan bir eleman varsa $G$'de de vardır.

Sonsuz gruplar için doğru değil. Bakınız, $G= \mathbb Z , H= n\mathbb Z \to G/H \cong \mathbb Z_n$

Comments

G nin G/H a projeksiyonu mapini dusunelim, bu elemanin gerdigi altgrupu bu fonksiyon/map altinda ters imajina bakarsak ne olur?  Burdan birseyler cikar sanirim, siz neler denediniz

---

Ben buna hala biraz şüpheyle bakıyorum, sonlu gruplarda bile.

Şu doğru: $g$'nin $G$ içerisindeki derecesi, $\bar{g}$'ın $G/H$ içerisindeki derecesinden daha az olamaz.

Answer 1

$gH$ nin $G/H$ deki mertebesi $n$ olsun.

$g$ nin $G$ deki mertebesi $m$ ise ($G$ sonlu olduğu için $m$ sonlu) $(gH)^m=g^mH=eH$ olur ve $n\mid m$ elde edilir.

($G$ nin)  $<g>$ altgrubu $(\mathbb{Z}_m,+)$ ye izomorf ($g\mapsto\bar{1}$) olur.

$\mathbb{Z}_m$ de $\overline{m\over n}$ nin mertebesi  $n$ dir.

Bu nedenle, $g^{m\over n}$ nin ($<g>$ de ve $G$ de) mertebesi $n$ olur.

Comments

İzormorfizmayı kullanmadan da görülüyor aslında.