Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $aO(X) := \{ A | (A \subseteq X)(A, a\text{-açık})\}$ olsun.

$``aO(X)\subseteq\tau"$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

NOT: $(X,\tau)$ topolojik uzay , $ A \subseteq X $  ve $ x\in X$ olmak üzere;

$A, \ a \text{-açık}: \iff A\subseteq int(cl( \delta\text{-}int(A)))$

$ A, \text{regüler açık}: \iff A=int(cl(A))$

$ RO(X):=\{A | (A \subseteq X)(A ,\text{regüler açık})\}$

$  \delta\text{-}int(A):=\cup\{U | ( U\subseteq A) (U\in RO(X))\}$

Comments

$\delta\text{-}int(A)$ kümesinin tanımını da eklersen soru daha anlaşılır hale gelir.

---

İpucu: Regüler uzaylarda bir kümenin $\delta$-içi, o kümenin içine eşittir.

---

Bir ipucu daha vereyim. Alışılmış topolojik uzay regüler bir uzaydır. Dolayısıyla bu uzayda $\alpha$-açık kümeler ile $a$-açık kümeler çakışır.

Answer 1

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzay olmak üzere $$A:=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right\}$$ kümesi $a$-açık (Neden?) olmasına karşın açık değildir (Neden?) yani $$aO(X)\subseteq \tau$$ önermesi her zaman doğru değildir.