$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$``((X,\tau), \text{ ayrılabilir})(\emptyset\neq Y\subseteq X)\Rightarrow (Y,\tau_Y), \text{ ayrılabilir}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

Yani ayrılabilir uzay olma özelliği kalıtsal özellik midir?

Not: $(X,\tau)$ topolojik uzay olsun.

$$(X,\tau), \text{ ayrılabilir}:\Leftrightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0\wedge \overline{A}=X)$$

Answer 1

$\mathbb{R}$ üzerinde $\tau:=\{A | 0 \in A\} \cup \{\emptyset\}$ topolojisini ele alalım. $\{0\} \subseteq \mathbb{R}$ ve $|\{0\}| =1\leq \aleph_{0}$ olup $\overline{\{0\}}=\mathbb{R}$ olduğundan $(\mathbb{R}, \tau)$ topolojik uzayı ayrılabilir uzaydır.  

Fakat $\mathbb{R} \setminus \{0\} \subseteq \mathbb{R} $ olmak üzere $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \tau_{\mathbb{R} \setminus \{0\}})$ altuzayı ayrılabilir uzay değildir.