Her $n\in \mathbb{N}$ için $$0<x_n<2$$ olduğunu gösterelim.
Soruda $0<x_1<2$ verildiğinden $n=1$ için $0<x_1<2$ eşitsizliği doğru.
Şimdi belirli bir $n$ için $$0<x_n<2$$ olduğunu varsayıp $$0<x_{n+1}<2$$ olduğunu gösterelim.
$0<x_n<2\Rightarrow 7< 7+x_n<9$
$\Rightarrow \frac{1}{9}<\frac{1}{7+x_n}<\frac{1}{7}$
$\Rightarrow -\frac{36}{7}<-\frac{36}{7+x_n}<-\frac{36}{9}=-4$
$\Rightarrow 6-\frac{36}{7}<6-\frac{36}{7+x_n}<6-4=2$
$\Rightarrow 0<\frac{6}{7}<\underset{x_{n+1}}{\underbrace{\frac{6+6x_n}{7+x_n}}}<2$
$\Rightarrow 0<x_{n+1}<2$
Dolayısıyla her $n\in\mathbb{N}$ için $0<x_n<2$ elde edilir. Yani dizi hem alttan hem de üstten sınırlıdır.
Her $n\in\mathbb{N}$ için $$x_n<x_{n+1}$$ olduğunu gösterelim.
Her $n\in\mathbb{N}$ için $0<x_n<2$ olduğunu göstermiştik.
O halde her $n\in\mathbb{N}$ için
$0<x_n<2\Rightarrow -3<x_n<2\Rightarrow (-3<x_n \wedge x_n<2)$
$\Rightarrow (0<x_n+3 \wedge x_n-2<0)$
$\Rightarrow (x_n+3)(x_n-2) <0$
$\Rightarrow x_n^2+x_n-6 <0$
$\Rightarrow x_n^2+7x_n<6+6x_n$
$\Rightarrow x_n<\frac{6+6x_n}{7+x_n}=x_{n+1}$
elde edilir. Yani $(x_n)_n$ dizisi artandır.
$(x_n)$ dizisi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi gereğince $(x_n)$ dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla öyle bir $L$ gerçel sayısı vardır ki $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=L$ olur. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak, $(x_{n+1})_n<(x_n)_n$ ve $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=L$ olduğundan $\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=L$ olur.
$$x_{n+1}=\frac{6+6x_n}{7+x_n}\Rightarrow L=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6+6x_n}{7+x_n}=\ldots =\frac{6+6L}{7+L}$$
$$\Rightarrow L^2+L-6=0$$
$$\Rightarrow L=-3 \vee L=2$$
Dizinin bütün terimleri pozitif olduğundan $L=-3$ olamaz.
O halde $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=2$ olur.