Young eşitsizliğini kanıtlayınız.

Question

$\alpha,\beta >0, \ p>1$  ve $\frac1p+\frac1q=1$ olmak üzere $$\alpha\cdot \beta \leq \dfrac{\alpha ^p}{p}+\dfrac{\beta^q}{q}$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

2016'da sitede sorulmuş ve burada 3 farklı ispat verilmiştir.

Answer 1

$\frac1p+\frac1q=1 \Rightarrow p\cdot q = p+q \Rightarrow  (p-1) (q-1) =1 \Rightarrow  \frac{1} {p-1} = q-1$

$y=x^{p-1} \Leftrightarrow y^\frac {1}{p-1}=x\Leftrightarrow x=y^{q-1}$
 
$\alpha \cdot \beta \leq \int_0^\alpha x^{p-1}dx+\int_0^\beta y^{q-1}dy=\frac{\alpha ^p}{p}+\frac{\beta^q}{q} $

Comments

İlk eşitsizliği, ($\alpha\cdot\beta\leq \int_0^\alpha x^{p-1}\,dx+\int_0^\beta y^{p-1}\,dy$) biraz açıklayabilir misiniz.

Bunu yeni soru olarak sordum.

EK: young Eşitsizliği şu soruda sorulmuş ve orada bu ispat ve 2 farklı ispatı verilmiş.

---

Buradaki yorumunuzu görmeden sorunuzu yanıtlamış bulundum.