$n.$ dereceden farklar

Question

$2.$ derece için : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$3.$derece için : $(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$...$

$n.$ derece için: $(a-b)(a^{n-1}+...)$            ($...$ yerine ne yazmalıyım?)

Comments

.........................................

Answer 1

$a^n-b^n=(a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^{i}$

Kanıt: n üzerine tümevarımla. İlk n'ler için Ökkeş yazmış.

Şimdi n için kabul edip n+1 için kanıtlayalım.

$a^{n+1}-b^{n+1}=aa^n-bb^n=aa^n-ab^n+ab^n-bb^n=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)=^{TV}a(a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^{i}+b^n(a-b)=(a-b)(\sum_{i=0}^{n-1} a^{n-i}b^{i} + b^n)=(a-b)\sum_{i=0}^{n} a^{n-i}b^{i}$

İstediğimiz kanıtlandı.

Comments

Eline sağlık, ökkeşin cevabını gördükten ispatını yazmaya üşenmiştim iyi ki yazdın.