Tam sayı katsayılı $n.$ dereceden bir polinomun $mod(m)$'de en fazla kaç tane kökü olabilir?

Question

Burada $mod(m)$'de $1$'i ve $(m+1)$'i aynı eleman olarak görelim. Yani $mod(m)=\{1,2, . . . , (m-1)\}$. Üstlerine şapka da koymadım, gerek yok.

Tabii ki en fazla $m$ tane vardır. Ancak bundan daha gelişmiş, belki $n$ ve $m$ tarafından belirlenen bir kök sayısı bulabilir miyiz?

Comments

ben de soruyordum onerılenlerden bu çıktı, çözümü var mı sende Çağan?

---

Valla ben de tuhaf bir yerde görmüştüm, cevabı yoktu sanki. Ben de çözemedim

---

Hatırladım, geçen dönem number theory dersinde hoca sormuştu

---

cebır calısırken aklıma geldı benım sorum da şu,

$\mathbb{R,Q,N,Z}$ de n dereceden denklemın en fazla n kökü olabılırken moduler sıstemlerde neden bu degışıyor? mısal $x^2+x$ mod 6 da 4 kökü var

Answer 1

m bir asal sayi ise en az sıfır, en fazla m ve n 'nin minimumu kadar kök  vardir. 

m bileşik sayı ise, örneğin m = (p1^a1) * (p2^a2) * (p3^a3)

Polinomun mod p1'de k1 tane, mod p2'de k2 tane, ve mod p3'de k3 tane kökü olsun; toplam kök sayısı = k1*k2*k3 tür. 

k'lardan herhangi bir tanesi sıfır ise, tüm çarpım da sıfır olur. Dolayısı ile polinomun kökü de yoktur.

Burada p1,p2,p3 asal çarpanlar, a1, a2 ve a3 asal çarpanların üstsel kuvvetleridir. Kuvvetlerin 1 veya daha büyük değer almalarının kök sayısına hiçbir etkisi yokur.   

Comments

Asal çarpanların kuvvetlerinin kök sayısına etkisi yoktur demişsiniz ama bu doğru değildir. Örneğin polinomun, mod 2 de kökü varken mod 16 da kökü olmayabilir.