Burda bir denklem sorusu varmış(^^)

Question

Saygı değer hocalarım

Analitik geometri calisiyordumda

Doğru denklemi tanımı şöyle $ax+by+c=0$ yazıyor bu bir doğru olduğunu belirtiyormus

 fakat $ax+b$ ifadeside doğru belirtmezmi

Mesela bir örnek vereyim

$2x+4=0$ burda bu denklem şöyle ifade edilmez mi. $2x+4=y$ tanım kumesi x lerden,görüntü kümesi ise y lerden oluşacağı için denklem =y yazdim burda

X yerine $0$ yazarsak $y=4$ buluruz

Y yerine $0$ yazarsak $x=-2$ olmaz mı yani bunu grafiğe dökersek

Kordinat duzleminde 2.bolgede olur

X eksenini $-2$ noktasında keser

Y eksenini $4$ noktasında kesen bı doğru buluruz

Fakat $ax+by+c=0$ denkleminde

$ax+by+c=y$ yazabiliyoruz mu burdanda

$ax+c=y-by$ sonra $ax+c=y(1-b)$ olmuyor mu yani hocalarım $ax+by+c=0$ denklemini kordinat duzleminde gösterirken nasıl yapacaz

$ax+by+c=y$ yazılabilir mi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemde y yazdığımız gibi birinci dereceden iki bilinmeyenli denkleme eşittir y yazılabilir mi yazilamassa neden yazılamaz hocalarım şimdiden herkese hayırlı iftarlar.

Answer 1

Aslinda doğru denilde $\mathbb{R^2} $ nin bir altkümesidir. yani iyi şeklinde belırlemek istiyorsak  en doğru ve genel ifadesi $ D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | ax + by + c =0 ; a,b,c \in \mathbb{R} \}$ burada $a,b,c $ leri sabit.

$I) \   b = 0 ,a \neq 0$ aldığında $ x=- \frac{c}{a} = \alpha$ yani $D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x =\alpha ;\alpha \in \mathbb{R} \}$ demek ki $x$ eksenınde $\alpha $ dık kesen (dıkey ) doğrusu elde edılır ; ki senin burada aldığığın $2x +4 = 0 $ bu kategorısınden gırer yani $D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x =-2  \}$ ve $ y = 2x + 4 $' den  çok farklı.

$II) \ b \neq 0 ,a =0$ aldığında $ y= -\frac{c}{b} = \beta ;$ yani $D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y =\beta ;\beta \in \mathbb{R} \}$ demek ki $y$ eksenınde $\beta $ kesen  (yatay ) doğrusu elde edılır 

$III) \ a,b\neq 0 ; c \in \mathbb{R}$ aldığında $ y=- \frac{ax +c}{b}  ;$ yani $D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y =y=- \frac{ax +c}{b} \}$  burada da iki durum ayırılır

1.durum $c\neq 0 $ ise hem $x$ hem de $y$ eksenlerin ayni anda birer noktadan (o noktaları araştır)  kesen (eğık) doğrusu elde edılır . ki senin burada aldığığın $y= 2x +4  $ bu kategorısınden gırer yani $D' := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y =2x + 4  \}$ bir eğık doğru olur.

2.durum : $ c=0 $ için hangı tarz doğruları kaşımızda çıkacağını araştır.

 

Aşağıdakı bırakacaklarımı de araştırman istiyorum :

$ (1) D_1 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x =-2  \} \neq \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y =2x + 4  \} = D_2 $ olduğunu araştır.

$(2)$ farkındaysan $ D := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | ax + by + c =0 ; a,b,c \in \mathbb{R} \}$  alt kümesi için $a,b = 0$ olacağı durum için bir şey demedım.. öyle olursa ne olurdu araştır.

Comments

Hocam öncelikle elinize emeğinize sağlık çok teşekkür ederim

Burdan anladığım şu hocam $(2x+4=0)$ ile $(y=2x+4)$ birbirine eşit değil hocam yazdıklarınızı tam idrak edemiyorum matematik seviyem çok yüksek değilde birinde $=y$ yazabiliyorken diğerinde neden $0$ yerine $y$ yazamiyoruz

Hocam c=0 için demişsiniz

Mesela $ax+b=0$ denklemi olsa burda sabite 0 ver demişsiniz hocam ozaman şöyle bir ifade yazayım $2x+0=0$ olur burdan $x=0$ olur

Diğer araştırmamk dediğiniz sorudada sunu düşünüyorum hocam

$y=2x+4$ ise x yerine 0 yazarsak $y=4$

y yerine 0 yazarsak $x=-2$ olur

 

A=0,B=0 durumu için $ax+by+c=0$ ise sabit sayı c olur ve y eksenini gösterdiği için kokleride olmadığı için x eksenine paralel olur ve eğimi sıfır olur sadece y eksenini kesen bir doğru olur diye düşündüm hocam

---

Orda $y$ keyfı her gangi bir reel sayi.....

şimde sana bu soruyu sorsam nasil çözersın...

$y = 2x + 4 $ denklemi nasil çözersın.. çözum küme içideki bir kaç eleman söyler misin
$ 2x + 4 = 0 ; y \in \mathbb{R} $ için de aynı şey yap...
Dıkkatlı şeklinde bakılırsak ilk durumda $y$ serbest değil $x$ 'e göre değer değiştırır.

ikinci durumdayse $y$ istedığın her gerçel sayı olabilir.
0 yerine $y$ yazamasın çünkü bunu duşun : $2x +4 = 0$ ile $2x + 4 =2 $ arasınıda bir fark var mı.. yanı soru böyle döder.. orda $0$ yerıne neden $2$ yazamam... bir anlam değıştığını gördun demi...

Daha sonra bunun da duşun.. 2 küme birbirinden farkli olduğunu nasıl kanıtlanırsın .. mesela

$ \mathbb{3Z} := \{3t | t \in \mathbb{Z} \}$ yani $3$ un tum tam katları ile $T := \{ x \in \mathbb{Z} | x ,tek \} $  kümeleri eşıt olmadiğini nasil gösterırsın ?

---

Bıraktığım araştırmaları için de bir daha düşün... orda $ax +by = 0$ denklemının çözcen $ax +b = 0 $ yerine

$a,b = 0$ olduğundan $0x +0y +c = 0 $ bir ifade çözerken terımleri ihmal etmemeye çalış.. anlam değiştırebılır... yanı burda bir şey çıkmasi için $c=0$ zorunda ki bu bizi ne verir ? $c\neq 0 $ olsaydı ne olacak ?

---

$y=2x+4$ denklemi sırali 2 liden oluşur ve x kümesine yani tanım kümesine her farklı değer verisimde görüntü kümesinden bir y değerine karşılık gelir hocam ve sonsuz çözümü vardır

$2x+4=0$ için ise birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğu için çözüm kümesi sirali ikiliden olusmaz ve çözüm kümesi tek elemanlidir

İki küme birbirinden farkli ise şöyle gosteririm hocam

Kümeleri siz tanimlamisiniz zaten 3Z kümesi öyleki 3 un katlarından oluşacak tek tam sayilar

T kümesi oyleki x lerden oluşacak tek tam sayilar

Bende bu iki kümenin eşit olmadığını şöyle gosteririm hocam. $T/3Z$ buda şu demek siz bilirsinizde zaten hocam :) T kümesinde olup 3Z kümesinde olmayan demek buda bu iki kümenin eşit olmadigi gösterir

---

düzeleme yaptım bak.. sende ona göre yap.. Z değil 3Z yani  3'un tum katları... diğerı de tek sayılar

---

$ax+by+c=0$ denkleminde hocam a,b 0 verirsek elimizde sabit c değeri kalır c değeri 0 dan farklı olmadığı durumda tanımsız olur çünkü c değeri 4 olsa

4 eşit değildir 0 a

$ax+by=0$ denklemini ise şöyle düşünebiliriz hocam ozaman

$by=-ax$ her tarafı b ye bölersek

$y=-\dfrac{ax}{b}$ olur ama doğruyu kordinat duzleminde gözümde canlandiramadim hocam.

---

ikincisi da çözüm küme 2li sıralı olacak.. çünkü şöyle dedım : $ 2x + 4 = 0 , y \in \mathbb{R}$ olduğu için

---

Düşün biraz bence yanlandırabılrsın...
 Tanımsız olunca kümemizde ne olurdu ?

c = 0 durumda da ne elde edeceğız ?

ve bunu kaldı halla

$1) D_1 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x =-2  \} \neq \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y =2x + 4  \} = D_2$ olduğunu göstermek.

bu arada $ T\setminus3\mathbb{Z} \neq \emptyset $  nasil garantı edersın ? :)

Bir de bu cumelede ne demek istiyorsun ? << Ayrica 3Z kümesi alt kümesidir T nin hocam.>>

---

Boş küme olur hocam

C=0 olursa dogrumuz orjinden geçmez mi hocam çünkü bide hocam ikinci sorunuzda  bu ifade nasıl $2x+4=0$ (x,y) den oluşuyor y elemanıdır Reel sayılar yazmissinizda denklemde y yok hocam

---

denklemin içinde y var ama görunmuyor... yani $\mathbb{R}^2 $ çalıştığımız için $0y + 2x +4 = 0, x,y \in \mathbb{R} $ şeklinde düşünebilirsinn.. konu evren çok önemli.. burada $y$ he gerçel sayı alabilie  $x$ de sadece $-2$... mesela çözüm kümesi içinde $(-2,1) ,(-2,0).......(-2,y)....$ tarz şeyler var

---

Hocam valla hocam T tek sayıları kapsıyor

3Z ise 3 un katı tek tam sayıları kapsıyor şimdi ozaman 3Z alt kümesidir T nin olmaz mı hocam zaten Z kümesinden isterse 10 tane olsun aynı elamanlar tekrar etmez

 

Ayrıca hocam T kümesi aslında 3Z kumesinide kapsıyor

Şimdi ozaman T/3Z kumesinide böyle yazabilir miyiz çünkü 3Z kümesinde olanlar zaten T kumesinde var fakat T kumesinde olanların hepsi 3Z kümesinde yok

 

Hocam $y=2x+4$ ile $2x+4=0$ birbirine eşit değildiri anlayamıyorum

Bide hocam $2x+4=0$ y elemanıdır R ifadesinde nasıl sıralı 2 li oluyor hocam orayı anlayamadim.

---

şimdi sen diyorsun ki her $3$ katı tektır... çünkü $3Z$ derken tüm 3 ün katıları var... $3$ katıları duşun hepsi tek mi?

---

Doğru hocam mesela 30 60 90 120 bunlar hep 3 un katı ama tek değil ozaman bunları bir cikarmamiz lazım ama ben iptal oldum hocam adeta matematikde sayenizde nirvanaya kadar geldim:)

---

bir de bunu duşun

$\mathbb{N} $ de $x^2 - 1 = 0 $ denklemi çözüm kümesi ne; tam yasılarda düşünursen aynı şey oluyor mu..?

$\mathbb{R}^2 $ de $D_1 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x-1=0  \} $ kümesi içindeki elemalari bulmak isterse ; $x-1=0 $ denklemi çözup $y$ için bir bilgi olmadığından $ D_1 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x=1  \} = \{ (-1,y) | y |in \mathbb{R^2} |   \}$ yani $ x=-1 $ dikey doğruyu elde edeceğız.

Şimdi $D_2 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | x-1=y \} $ kümesi içindeki elemalari bulmak isterse ; $x-1=y $ ve  burda $y$ için bir bilgımız var oldu; böylece  $D_2 := \{ (x,y) \subseteq \mathbb{R^2} | y=x-1  \} = \{ (-x,x-1) \subseteq |  x \in \mathbb{R} \}$ burda da $(0,-1) ,(1 ,0) $ noktaları kesen eğık doğrusu elde edılır..

Burda $(-1,0) \in D_1 $ olmasına karşı $(-1,0) \notin D_1 $ ve $(0,-1) \in D_2 $ olmasına karşı $(1,-1) \notin D_2 $.. verdıklerım incelemeye çalış.

---

aslında matematı amacı bu... dırek cebap yazabılrdım sana fakat cevabı kendı kendı buldurmayı çok verımlı olur... bulanazsan da çok yeni şeylerı öğrenırsın araştırırken kı matematık bu.. şimdi biraz dilen rahat kafayla bir daha düşün bunları :)

---

Hocam $x^2-1=0$ denkleminin çözüm kümesi $x=1$ veya $x=-1$ olur fakat $-1$ doğal sayılar kümesine dahil olmadığı için $-1$ i alamayiz.

 

$D{(x,y)alt kümesidir R^2|x-1=0}$ hocam dün böyle bir ifadede $0y+x-1=0$ gizli y olmuyor mi hocam burda gece gösterdiğiniz gibi olması gerekmiyor mu hocam bide $R^2$ tam olarak ne oluyor pozitif reel sayılarını anlatıyor bize hocam

Bide hocam 3Z ile T kümesini nasıl gostericez.

---

$\mathbb{R}^2 $ bildığın kordınat sistemine denk olup  siralı ikili gerçel sayilarında oluşan kümesi yani $\mathbb{R}^2:= \{ (x,y) | x,y \in \mathbb{R} \} $. gizlı $y$ olduğunu dememı sebebı $R^2$ çalıştığımız için çünkü çözum küme içinde iki sıralı olmasıdır. $\mathbb{R} $ de çalışmış olsadi iş bambaşka plurdu

$A,B $ iki küme olmak üzer :

$ A\subseteq B :\Leftrightarrow [x\in A \Rightarrow x\in B ]$

$ A = B :\Leftrightarrow [ (A\subseteq B) \wedge (B\subseteq A)] :\Leftrightarrow [ x \in A \Leftrightarrow x\in B] $

demek ki $A \neq B :\Leftrightarrow [ (A\nsubseteq B) \vee (B \nsubseteq A) ]$

yani iki küme birbirinde farklı göstermek istiyorsan Örneğin $A ,B$ için $A$ da olan $ B$ de olmayan veya $A ,B$ için $A$ da olan $ B$ de olmayan en az bir eleman bulsan yeterli olur ki yapmişsin.

Yukardakı denklemı $\mathbb{N}$ olduğu için gizli bir $y$ yok burda.. çalıştğımız evrenı çok önemli.

---

Hocam bende tam onu düşünüyordum neden burda gizli $y$ yok diye hocam bu kavramları arastirabilecegim bir kaynak varmı yani neden $N$ kümesinde gizli $y$ yokda reel sayılar veya tam sayılarda gizli $y$ var

Aklıma soyle geldi hocam doğal sayılar negatif olamaz bu nedenle görüntü kümesinde negatif sayıları alamayacağı için gizli $0y$ olmuyor

Bu arada hocam çok teşekkür ederim valla kitap gibi usenmeden yazmışsınız herşeyi detaylıca yani artık ben utanır oldum soru sormaktan cidden hakkınızı helal edin:)

---

Gızli $y$ yi sadece $\mathbb{R}^2$ için söyledım çünkü sirali ikiliden oluşuyor...ki doğrularda $\mathbb{R}^2$ nin altkümesidır... AMA $\mathbb{R}$ ;$\mathbb{N}$ ve $\mathbb{Z}$ için böyle bir şey yok...

Hiç Çekınmeden sorabilirsin..hiç soru işaret kalmasın kafanda kalması...
Kaynak için Soyut matematık kıtaplarından yada  set teorisi yani Kumelerın kuramı...Kıtabları.. Ali Nesın kıtapları önerırım ... Youtuba da videoları var... kümeleri kuramı yazınca çıkar... o videoları takıp et..

---

Tamamdır hocam teşekkür ederim okadar iyi anladım ki burdaki mantığı sizin sayenizde.

---

Rica ederim :) sana Kolay gelsın :)

---

@Facial Yacine İssaka

Hocam bu anladiginiz yerin başka versiyonu kafama takıldı en iyisi size sormak dedim

Hocam $2x+4=0$ da y eksenini kesmiyorduya yani tanımsız oluyorduya hocam

Mesela şöyle bir örnek olsa

$x^2+2x+1=0$ yani 2 dereceden bir denklem bu denklemde 0 yerine y yazabiliyor muyuz hocam

---

Merhabalar.. istersan özelden yaz birazcık zoom üzerine konüşsak orda anlatıyım sana olur mu :)