Homeomorfizmaya Dair-X

Question

$\mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{R}^3$ üzerindeki alışılmış topolojileri sırasıyla $\mathcal{U}^2$ ve $\mathcal{U}^3$ ile gösterelim. $\mathbb{D}^2=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\}\subseteq \mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{S}^2=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1\}\subseteq \mathbb{R}^3$ olduğuna göre $$\left(\mathbb{D}^2,\mathcal{U}_{\mathbb{D}^2}^2\right)\ncong \left(\mathbb{S}^2,\mathcal{U}_{\mathbb{S}^2}^3\right)$$ olduğunu yani $$\left(\mathbb{D}^2,\mathcal{U}_{\mathbb{D}^2}^2\right)$$ topolojik uzayının $$\left(\mathbb{S}^2,\mathcal{U}_{\mathbb{S}^2}^3\right)$$ topolojik uzayına homeomorf olmadığını gösteriniz.

Comments

Şuradaki fikir (biraz değişirerek) ile yapılabilir.

---

tamam hocam biraz daha irdeleyeyim teşekkür ederim ilginiz için.

---

Kure contractible degildir ama disk contractibledir yani aralarinda homeomorfizma olamaz desem dogru olur mu ?

---

@eloi:

Kürenin büzülemez olduğunu göstermek kolay mı?

@ Bilge zc:

Soruyu çözerken daha önce doğruluğu gösterilmiş (ispatlanmış) önermeler kullanmalısın.

Esas grup (veya homoloji/kohomoloji) bilmeden bu problemin çözümü biraz zor görünüyor.

---

Dogan Hocam, Brouwer in sabit nokta teoremi ile ispatini yapmistik diye hatirliyorum derste, notlarima bakacagim. Bir baska strateji ise diskin $\mathbb{R^2}$ ye homemorf oldugunu gostermek olabilir diye dusundum, daha sonra kurenin kompakt ama $\mathbb{R^2}$ nin kompakt olmadigini soylerek gene arada homeomorfi olmadigini soyleyebiliriz.

 

Duzenleme sonrasi: Acik disk olsa dediklerim dogruydu sanirim ama disk kapaliymis

 

Duzenlemeden bir sonrasi : Euler sayilari farkli icin homeomorf degildirler desek ?

---

Sabit noktası olmayan bir $f:\mathbb{S}^2\to\mathbb{S}^2$ sürekli dönüşümünü bulabilsen, homeomorfik olmadıklarını ispatlayabilir misin?

---

Brouwer sabit nokta teoremi, kompakt konveks bir kumeden kendisine giden surekli donusumlerde illa ki bir sabit nokta olacagini soyluyor. Kapali disk kompakt ve konveks.  

$f_1: \mathbb{D} \to \mathbb{S}$

$f_2: \mathbb{S} \to \mathbb{S}$

$f_1^{-1}: \mathbb{S} \to \mathbb{D}$

fonksiyonlarina bakalim. Diyelim ki bunlarin hepsi surekli olsun. Bunlari arka arkaya dizersek , diskten diske giden surekli bir donusumumuz olmali. O zaman bu donusumun sabit bir noktasi olmali.

Ama $f_2$ sizin dediginiz gibi bir fonksiyon ise bu olamaz celiski
(Duzenleme sonrasi : biraz daha baktim da yazdiklarima cok sacma seyler soyledim gibi hissettim. Ozellikle "celiski" dedigim kisima cok hizli atladim. Ama sanki boyle bir yapi ile sonuca ulasabilirmis gibi hissediyorum)
gibi dusundum.

 

Peki boyle bir $f_2$ var mi?

Bu fonksiyonun varligini da bize kirpi teoremi veriyor olmali. Yanlis hatirlamiyorsam bu teorinin sonuclarindan biri kureden kureye giden surekli donusumlerin, ya sabit noktasinin olacagini yada antipodlari birbirine gonderecegini soyluyor.

 

pek emin degilim soylediklerimden.

 

Soyle baska bir cozum onerim daha var. Kureyi ve Diski ucgenleyip Euler sayisini hesaplayalim. Kure icin bu iki cikmali (3 kose - 3 kenar + 2 yuz = 2). Kapali disk icin ise 1 gelmeli cevap (3 kose - 3 kenar + 1 yuz = 1). Euler sayisi topolojik bir sabit oldugu icin (oyle dimi ?) Kure ile kapali disk birbirine homeomorf degildir diyemem mi ?