Vektör uzayı nesneler kümesiyse, cisimler sıfatlar kümesidir. Yanlış da olsa bir benzetme yapmak gerekirse, "5 kalem" dediğimizde 5 cismin bir elemanıdır, "kalem" ise vektör uzayının. Öte yandan "5 tane 3" dediğimizde "5" cismin bir elemanıdır, 3 ise vektör uzayının, yani her cisim bir vektör uzayı olarak görülebilir demek istiyorum, ama tersi doğru değildir, her cisim bir vektör uzayı olarak görülemez. Kısaca ve kabaca söylemek gerekirse, vektör uzayları, birbirleriyle toplanan ve bir cismin elemanı olan bir nevi sayılarla çarpılan, adına "vektör" denilen nesneler kümesidir. Bildiğimiz üç boyutlu uzay, bir başlangıç noktası "(0, 0, 0)" seçildiğinde bir vektör uzayı olur. Bu durumda üç koordinat ekseni ve eksenler üzerinde birim uzunluklar seçersek, her vektör $(x, y, z)$ biçiminde yazılabilir. Vektörleri toplayabiliriz: $$(x, y, z) + (x', y', z') = (x+ x', y+y', z+ z').$$ Eğer $\lambda$ cismin bir elemanıysa, bu $\lambda$ "sayısını" bir $(x, y,z)$ vektörüyle şöyle çarpabiliriz: $$\lambda (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z).$$
Cisimler, bir küme ve bu küme üzerine tanımlanmış ve bazı koşulları sağlayan toplama $+$ ve çarpma $\times$ denilen iki işlemle donatılmış yapılardır. Vektör uzaylarında ise toplama diye bir işlem vardır (aynen cisimlerde olduğu gibi), ama iki vektörü genelde çarpamazsınız (ama cismin iki elemanını çarpabilirsiniz). Öte yandan cismin bir elemanıyla bir vektörü çarpıp bir başka vektör bulabilirsiniz.