Onsav 13.30. p bir asal olsun. Z (I) p∞ ≃ Z (J) p∞ ise |I| = |J| olur.
Kanıt: Zp∞ sayılabilir olduğundan, gruplardan biri sayılamaz sonsuzluktaysa, |I| = |Zp∞^^(I)| = |Zp∞^^(J) | = |J| olur. Bundan böyle grupların sayılabilir sonsuzlukta olduklarını varsayalım. Demek ki I ve J (sonlu ya da sonsuz) sayılabilir kümeler. G ve H varsayımdaki izomorfik gruplar olsun. Gp ve Hp, derecesi ≤ p olan elemanlardan olu¸san altgruplar olsun. O zaman, (Z/pZ) ^^(I) ≃ Gp ≃ Hp ≃ (Z/pZ)^^(J) olur. E˘ger Gp ya da Hp gruplarından biri sonluysa, ikisi de sonlu olmak zorunda, hatta eleman sayıları p^^|I| ve p^^|J| olmalı. Demek ki |I| = |J|. Eğer Gp ya da Hp gruplarından biri sonsuzsa, |I| = ω = |J| olmalı.
Kalın kısmı anlamadım.