Esasen geometride (istisnalar hariç) gerek soruyu sorarken gerek çözümü yaparken verilenlere uygun bir şeklin çizilmesi,sorunun ve çözümün anlaşılırlığı için önemli ve uygundur. Ancak ben bilgisayarda şekil çizemediğim için çözümü şekilsiz(kağıda çözüm için çizdiğim şekle göre) yapmaya çalışacağım.
Bu soruya uygun bir şekli çözüme ekleyecek arkadaşa minnettar olacağım.
Dar açılı(bütün iç açı ölçüleri 90 dereceden küçük olan ) $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi $O$ (iç açıortayların kesim noktası) ve yarıçap uzunluğu da $r$ birim ve bu çemberin $[AB],[BC],[AC]$ kenarlarına değme noktaları ise sırası ile $ D,E,F$ olsun. Değme üçgeni dediğim üçgen bu $DEF$ üçgenidir.
$s(\widehat{A})=2\alpha,s(\widehat{B})=2\beta,s(\widehat{C})=2\theta$ olsun.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet boyları eşit olduğundan; $ADF,BDE,CEF$ birer ikizkenar üçgendir. Ayrıca $O$ noktasını değme noktalarına birleştiren yarıçapların $ABC$ üçgeninin kenarlarına dikliğini görürsek,
$ADOF,BDOE,CEOF$ dörtgenlerinin hem birer kirişler dörtgeni hemde birer deltoit olduklarını görebiliriz. Ayrıca bu deltoitlerin $O$ köşesindeki iç açı ölçülerinin 90 dereceden büyük olduğunu( çünkü ABC dar açılı idi) ve yine $[AO],[BO],[CO]$ köşegenlerinin iç açıortay olduklarını görmek zor değildir. Böylece oluşan ve ikişer ikişer eş olan $ADO$ ile $AFO$,$BDO$ ile $BEO$,$CEO$ ile $CFO$, üçgenleri dik olup herbirinin $O$ köşesindeki iç açı ölçüsü diğer dar açıdan büyüktür.
Çünkü $2\alpha<90,2\theta<90,2\theta<90$ olduğundan $180-2\alpha>90,180-2\theta>90,180-2\theta>90$ olup
$90-\alpha>45,90-\beta>45,90-\theta>45$ olacaktır.
Eğer $|AD|=|AF|=a, |BD|=|BE|=b, |CE|=|CF|=c$ denirse,
$r<a, r^2<a^2$
$r<b, r^2<b^2$
$r<c, r^2<c^2$ olacaktır. Ayrıca $s(\widehat{ADF})=s(\widehat{AFD})=x, s(\widehat{BDE})=s(\widehat{BED})=y , s(\widehat{CEF})=s(\widehat{CFE})=z$ denirse,
çemberde aynı yayı gören çevre açı ölçülerinin eşitliğinden $s(\widehat {DEF})=x,s(\widehat {DFE})=y,s(\widehat {EDF})=z$ olacaktır.
Şimdi $A(DEF)=A(DOF)+A(DOE)+A(EOF)$
$A(DEF)=\frac 12r^2Sin(180-2\alpha)+\frac 12 r^2Sin(180-2\beta)+\frac 12Sin(180-2\theta)$
$A(DEF)=\frac 12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)....(1)$ dir.
$A(ABC)=A(ADF)+A(BDE)+A(CEF)+A(DEF)$
$A(ABC)=\frac 12 a^2Sin2\alpha+\frac 12b^2Sin2\beta+\frac 12c^2Sin2\theta+\frac 12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)$
$\frac{A(DEF)}{A(ABC)}=\frac{\frac12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}{\frac 12 a^2Sin2\alpha+\frac 12b^2Sin2\beta+\frac 12c^2Sin2\theta+\frac 12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}$ olur. Burada $ r^2<a^2, r^2<b^2, r^2<c^2$ olduğu kullanılırsa,
$\frac{A(DEF)}{A(ABC)}\leq \frac{\frac12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}{\frac 12 r^2Sin2\alpha+\frac 12r^2Sin2\beta+\frac 12r^2Sin2\theta+\frac 12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}$ ve .
$\frac{A(DEF)}{A(ABC)}\leq \frac{\frac12r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}{r^2(Sin2\alpha+Sin2\beta+Sin2\theta)}$
$\frac{A(DEF)}{A(ABC)}\leq \frac12$ olacaktır. Eşitlik halinin $a=b=c=r$ olması ile mümkün olacağının ancak bunun da üçgen çizimine izin vermediğinin bilinmesi iyi olur. İspatın dik açılı ve geniş açılı üçgenler için yapılması okuyucuya bırakılmıştır.