Güzel (ve basit olmayan) bir soru.
Soruda, $ x+y+z $ nin maksimum değerini $57$ yapan $ m $ sayısı için $ x+y+z $ nin minimum değeri soruluyor.
($xy=3m,\ yz=4m$ den $ m $ nin de ($ m=yz-xy $ oluşundan) bir (pozitif) tamsayı olduğu görülüyor.)
Bu eşitliklerden, $y\mid m$ (ve bunun $x$ ve $z$ yi tamsayı yapmaya yeterli) olduğunu da görüyoruz.
Önce $ m $ yi bulacağız.
$ x={3m\over y},\ z={4m\over y} $ den, $ x+y+z={7m\over y}+y $ olur.
En az bir $ y $ için $ {7m\over y}+y=57 $ olduğunu biliyoruz.
$ y=1 $ iken (ve $y\mid m $ oluyor) $ m=8 $ bulunuyor.
Ama, önce, başka böyle $ m $ olup olmadığını (ve $m=8$ için maksimum değerin $57$ olup olmadığını) kontrol etmeliyiz.
$m>8$ (tamsayı) için $y=1,x=3m,z=4m$ istenen koşulları sağlar ve $x+y+z=1+7m>57$ olur, maksimum $57$ olmazdı.
$ m<8 $ (tamsayı) değerleri için $ xy\leq21,\ yz\leq28 $ den $ x+y\leq22 $ ve $ y+z\leq 29 $, bunlardan da $ x+y+z<x+2y+z\leq 51 $ olur yine maksimum değer $57$ olmazdı.
Bunlar, bize, $m\neq8$ ise $x+y+z$ nin maksimum değerinin $57$ olamayacağını gösterdi.
$ m=8 $ iken ($y\mid m$ idi) $y=1$, $y=2$ , $y=4$ veya $y=8$ olması gerekiyor.
$y=1$ için $x+y+z=57$,
$y=2$ için $x+y+z=30$
$ y=4$ için $x+y+z=18$
$y=8$ için $x+y+z=15$ olur.
Dolayısıyla, (sadece) $m=8$ için $x+y+z$ nin maksimum değeri $57$ olur ve bu durumda $ x+y+z $ nin minimum değeri $15$ dir.